Ableitung / Taylor-Polynom < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:(-3,2) \rightarrow \IN [/mm] die rationale Funktion mit
[mm]f(x)=\bruch{2x+1}{x^2+x-6}[/mm]
1. Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen f' und f'' sowie das zweite Taylor-Polynom [mm] T_{2}f(x,0)[/mm] von f mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] .
2. Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von f.
3. Berechnen Sie die Taylor-Reihe [mm]T f(x,0)[/mm] von f mit dem Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] . Wenden Sie die Summenformel der geometrischen Reihe auf die Partialbrüche von f an.
4. Berechnen Sie den Konvergenzradius [mm] \varphi [/mm] der Taylor-Reihe [mm]Tf(x,0)[/mm]. Wenden Sie die Formel von cauchy-Hadamard an. |
Hallo Leute,
wir lernen gerade für unsere Analysisklausur und brauchen Unterstützung. Wir rechnen diese Aufgaben parallel, haben aber keine Muster Lösungen. Daher tappen wir mit unseren Ergebnissen ein wenig im Dunkeln.
Es wäre Super, einige Ansätze oder Lösungsvorschläge zu haben, um einfach kontrollieren zu können, ob wir auf dem richtigen Dampfer sind.
Vielen Dank für eure Mühe im Voraus
Serhat & Flo
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Schaffe es zeitl. nicht alles zu machen. Hier mal nen Anfang:
1) [mm] f'(x)=\bruch{2(x^2+x-6)-(2x+1)^2}{(x^2+x-6)^2}=\bruch{2(x+3)(x-2)-(2x+1)^2}{(x+3)^2(x+2)^2}
[/mm]
2) [mm] f(x)=\bruch{2x+1}{x^2+x-6}=\bruch{2x+1}{(x+3)(x-2)}=\bruch{A}{(x+3)}+\bruch{B}{(x-2)}=\bruch{1}{(x+3)}+\bruch{1}{(x-2)}
[/mm]
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Nimmt man die zerlegte Funktion gibts:
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{(x+3)^2}-\bruch{1}{(x-2)^2}
[/mm]
damit bekommt man für [mm] f''(x)=\bruch{2}{(x+3)^3}+\bruch{2}{(x-2)^3}
[/mm]
nun braucht man für die Taylorreihe um x=0 nur noch [mm] f(0)=\bruch{-1}{6}, f'(0)=\bruch{-13}{36},f''(0)=\bruch{-19}{108}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mi 12.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum postet ihr nicht eure Lösung und wie korrigieren, dann ists jedenfalls weniger SSchreibarbeit für uns. und wir müssen nicht alles doppelt machen, was ihr schon habt. beinahe alles hat ja schon peacock geschrieben.
Gruss leduart
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Hi Leduard,
vielen Dank für die Hilfe.
Wir sind gerade dabei die Aufgaben zu lösen, wollten sie nur posten, bevor es zu spät ist und keiner mehr hier ist :)
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Hallo Leute,
Nun bin ich auch soweit und habe diese Aufgabe gerechnet. Ich habe zwar die ableitung etwas mühsamer (nur mit Quotientenregel) gemacht, aber die Funktionswerte sind richtig, die sehen nur nicht so elegant aus.
Nun Step 2; ich soll die Taylor-Reihe bilden:
Die Formel dazu ist ja: [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^k[/mm]
Also setze ich meine Werte ein: (ist die Annahme, dass die 0 te Ableitung die Fuktion selbst ist, richtig?):
[mm]T_{2}(x;0)=-\bruch{1}{6}-\bruch{13}{36}x-\bruch{19}{216}x^2[/mm]
Wäre das jetzt alles?? Oder muss da noch was tiefsinniges mit anstellen?
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Hi Schachuzipus,
danke für die Info.
Eine Frage habe ich noch:
Wie mache ich die Partialbruchzerlegung?
- Also, ich habe die Null-Stellen des Nenners bestimmt (Bei der Aufgabe kein Problem :) Das sind [mm]x_{1}=-3 , x_{2}=2[/mm])
- Habe dann den Nenner als Produkt dargestellt [mm]\bruch{2x+1}{(x-2) \cdot\ (x+3)}[/mm]
- Nun habe ich die Gleichung:
[mm]\bruch{2x+1}{(x-2) \cdot\ (x+3)}=\bruch{A}{(x-2)}+\bruch{B}{(x+3)}}[/mm]
- Erweitere den linken Teil mit dem rechten Nenner und umgekehrt, und bekomme:
[mm]A(x+3)+B(x-2)=2x+1[/mm]
Jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Ich möchte A und B bestimmen, mir fehlt aber dazu eine weitere Gleichung. Wo kriege ich die her?
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ÄÄhh,
nicht dein Ernst, oder???
linke Seite ausmultiplizieren und Koeffizientenvgl.
*hüstel*
Gruß
schachuzipus
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Mein Gott... Was habe ich getan ??
Gut, danke für den Hinweis, ich weiss es ist schlimm. Aber jetzt habe ich s auch gesehen. Wir sitzen jetzt schon seit 6:00 Uhr hier und rechnen alles, was wir in die Hände bekommen :))
Vielen Dank für den Hinweis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Fr 14.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Aber es ist dir schon klar, dass das nur der 1. Punkt der aufgabe ist?
Gruss leduart
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Klar :)
Ich arbeite mich langsam voran :)
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