Ableitung Umkehrfkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion:
[mm]h_1 : ]-1,1[ \to ]0,\pi[ , h_1(x)=arccos(x)[/mm] |
Hallo!
[mm](f(x)^{-1})'=\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm] ist die allgemeine Regel.
[mm](f(x)^{-1})'=\bruch{1}{-sin(arcos(x))}[/mm]
Jetzt wird ausgenutzt: [mm]sin^2(x)+cos^2(x)=1
[/mm]
[mm] sin^2(x)=1-cos^2(x)
[/mm]
So, nun zu meiner Frage:
Das Ergebnis der Umkehrfunktion lautet: [mm](f(x)^{-1})'=-\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
Um darauf zu kommen wird also:
[mm]sin^2(x)=1-cos^2(x)[/mm]
so umgeformt:
[mm]sin(x)=\wurzel{1-cos^2(x)}[/mm]
Warum wird hier nur der positive Teil der Wurzel verwendet?
Müsste die Ableitung der Umkehrfunktion nicht eigentlich so aussehen:
[mm](f(x)^{-1})'=-\bruch{1}{\red{\pm}\wurzel{1-x^2}}[/mm]
Valerie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
kommt von der Definition von [mm] $h_1$. [/mm]
[mm] $\arccos(x)\in (0,\pi)\ \Rightarrow\ \sin(\arccos(x))> [/mm] 0$
> Müsste die Ableitung der Umkehrfunktion nicht eigentlich so aussehen:
> $ [mm] (f(x)^{-1})'=-\bruch{1}{\red{\pm}\wurzel{1-x^2}} [/mm] $
Die rechte Seite ist keine Funktion, weil eine Funktion jedem Wert im Definitionsbereich *einen* Wert im Wertebereich zuordnet.
Man macht das ganze manchmal salopp in anderem Kontext, wenn man nicht mit 2 fast identischen Funktionen rumhantieren will; aber wenn das rauskommen könnte, wäre die Ableitung der Umkehrfunktion nicht wohldefiniert. =)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Do 08.12.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Hi Stefan!
> Hi,
>
> kommt von der Definition von [mm]h_1[/mm].
>
> [mm]\arccos(x)\in (0,\pi)\ \Rightarrow\ \sin(\arccos(x))> 0[/mm]
Das macht natürlich Sinn! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Dankeschön...
Valerie
|
|
|
|
