Ableitung als Abbildung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $V=K\left[t\right]_{d}$ [/mm] und sei $f$ in $EndV$ durch [mm] $f(v)=\frac{dv}{dt}$ [/mm] definiert. Berechne [mm] $P_{f}(x)$. [/mm] |
Hallo
Eine Basis meines Raums wäre: [mm] $(1),(t),(t^{2})....,(t^{d})$ [/mm]
und wenn ich das abbilde dann wird daraus [mm] $(0),(1),(2t^{1}),....(dt^{d-1})$
[/mm]
Wie komme ich denn zum charakteristischen Polynom der Abbildung, dazu benötige ich doch eine Matrix?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Sei [mm]V=K\left[t\right]_{d}[/mm] und sei [mm]f[/mm] in [mm]EndV[/mm] durch
> [mm]f(v)=\frac{dv}{dt}[/mm] definiert. Berechne [mm]P_{f}(x)[/mm].
> Hallo
>
> Eine Basis meines Raums wäre: [mm](1),(t),(t^{2})....,(t^{d})[/mm]
>
> und wenn ich das abbilde dann wird daraus
> [mm](0),(1),(2t^{1}),....(dt^{d-1})[/mm]
>
> Wie komme ich denn zum charakteristischen Polynom der
> Abbildung, dazu benötige ich doch eine Matrix?
Und du hast auch alles was du brauchst um die Matrix aufzustellen: es gilt doch, wie du bereits gesagt hast, $1 [mm] \mapsto [/mm] 0, t [mm] \mapsto [/mm] 1, [mm] t^2 \mapsto [/mm] 2t , [mm] \ldots, t^d \mapsto dt^{d-1}$
[/mm]
Damit erhälst du bzgl der Basis [mm] $(1,t,t^2,\ldots t^d)$ [/mm] die Abbildungsmatrix:
[mm] $\pmat{0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ & & & \ddots & & &\\& & & & \ddots & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0}$
[/mm]
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> die Abbildungsmatrix
und [mm] $P_{f}(x)= (-x)^{d+1}$ [/mm] , richtig?
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
>
> > die Abbildungsmatrix
>
> und [mm]P_{f}(x)= (-x)^{d+1}[/mm] , richtig?
Ja
FRED
>
>
>
> > LG
>
> Danke!
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> Ja
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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> und [mm]P_{f}(x)= (-x)^{d+1}[/mm] , richtig?
Hallo kushkush,
je nach Definition : ![[]](/images/popup.gif) Charakteristisches Polynom
Nach der dort (als erster) genannten Definition wäre [mm]P_{f}(x)= x^{d+1}[/mm]
LG
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
>je nach Definition
Danke für den Hinweis!
Gruss
kushkuhs
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Al,
wie so häufig in der Mathematik, ist auch der Begriff "charakteristisches Polynom" nicht einheitlich definiert. Manchmal findet man
[mm] $\chi_A(\lambda) [/mm] = [mm] \det(\lambda E_n-A)$,
[/mm]
genauso häufig aber auch
[mm] $\chi_A(\lambda) [/mm] = [mm] \det(A-\lambda E_n)$.
[/mm]
Gruß FRED
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