Ableitung anhand der Defintion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)= [mm] x^2 [/mm] + x - 1/x
->Anhand der Definition der Ableitung die Steigung der Tagente im Punkt a=-1
->mit Ableitungsregeln überprüfen
![[]](/images/popup.gif) Mein Lösungsweg |
Hallo,
Hab ein Bild mit der Aufgabenstellung und meinem Lösungsweg dabei gesetzt.
Ich wollte fragen op das richtig ist?
Ich habe halt bei dem Punkt wo ich gemerkt habe dass ich ../0 habe halt B.D.H bernouli de hopital benutzt..
lG
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Hallo elektronenalgebra,
wir haben absolut nix dagegen, wenn du ein paar Zeilen hier mal abtippst. Da kommen wir viel viel besser damit klar 
Du nutzt L'Hospital und berechnest damit die Ableitung. Da drehst du dich ja aber total im Kreis. Du benutzt etwas, was du erst zeigen sollst.
An deiner Stelle würde ich auch mit folgender Definition arbeiten:
[mm] f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
So ein Grenzwert gegen Null ist in der Regel angenehmer.
Am besten du notierst erst einmal den Term f(x+h)-f(x). Multiplizierst alles aus, ordnest ein wenig und dividierst dann durch $h$ und führst dann den Grenzübergang durch.
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Hallo elektroalgebra!
Ich stimme hie Richie absolut zu, insbesondere was den modifizierten Grenzwert angeht.
Aber auch Dein Weg funktioniert. Allerdings solltest Du dann Deinne Bruch zunächst mit $x_$ erweitern, um die Doppelbrüche zu eliminieren.
Anschließend steht dann noch eine  Polynomdivision an, bevor es an die Grenzwertbetrachtung geht.
Gruß vom
Roadrunner
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Danke an euch beide!
Okay das heisst also, dass es kein Sinn macht hier L'Hospital zu benutzen ? Egal bei welcher Aufgabe in der man die Ableitung anhand der Definition rechnen soll ?
Ich probiere mal! Danke!
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Hallo,
> Danke an euch beide!
>
> Okay das heisst also, dass es kein Sinn macht hier
> L'Hospital zu benutzen ? Egal bei welcher Aufgabe in der
> man die Ableitung anhand der Definition rechnen soll ?
"Gelbrot und grün macht das Gelbe, grün und violblau das Blaue!
So wird aus Gurkensalat wirklich der Essig erzeugt!"
Friedrich Schiller
Die obige Xenie von Schiller bringt es zum Ausdruck: funktionieren würde es, aber der Sinngehalt strebt gegen Null, denn man würde ja für die Anwendung wieder die gesuchte Ableitung verwenden. Außerdem basiert die Regel von de l'Hospital auf Taylorreihen und damit u.a. auch auf der Differenzialrechnung. Also wäre es genau das: aus Gurkensalat Essig 'herstellen'. 
Gruß, Diophant
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So hab das jetzt ohne bernouli gemacht:
f(x)= [mm] \bruch{f(x) - f(a) }{x-a}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^2 +x - 1/x -((-1)^2 -1 -1/ -1))}{x+1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^2 +x - 1/x -1}{x+1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{ \bruch{x^3}{x} + \bruch{x^2}{x} - \bruch{1}{x} - \bruch{x}{x} }{x+1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{(x^3 +x^2 - 1 -x) * \bruch{1}{x} }{x+1}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^3 +x^2 - 1 -x}{x+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^3 +x^2 - 1 -x}{x^2+x}
[/mm]
Polynomdivision: [mm] (x^3+x^2-x-1) [/mm] / [mm] x^2+x [/mm] =x+ [mm] \bruch{-x-1}{x^2+x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} [/mm] x + [mm] \bruch{-x-1}{x^2+x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} [/mm] x + [mm] \bruch{-1(x+1)}{x*(x+1)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1} [/mm] x + [mm] \bruch{-1}{x}
[/mm]
[mm] (-1)-\bruch{1}{-1}
[/mm]
=0
Bitte sagt mir dass es richtig ist :D
lG
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> So hab das jetzt ohne bernouli gemacht:
> f(x)= [mm]\bruch{f(x) - f(a) }{x-a}[/mm]
Hallo,
diese Funktion meinst Du doch gar nicht!
Sondern Du möchtest von der Funktion f(x)= $ [mm] x^2 [/mm] $ + x - 1/x die Ableitung an der Stelle x=-1 berechnen, und zwar mithilfe der Definition der Ableitung.
Und weil Du so gut aufgepaßt hast, weißt Du
[mm] f'(x)=\lim_{x\to a}\bruch{f(x)-f(a)}{x-a}.
[/mm]
Dies wendest Du nun (völlig richtig) an:
es ist
f'(-1)=
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^2 +x - 1/x -((-1)^2 -1 -1/ -1))}{x+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^2 +x - 1/x -1}{x+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{ \bruch{x^3}{x} + \bruch{x^2}{x} - \bruch{1}{x} - \bruch{x}{x} }{x+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{(x^3 +x^2 - 1 -x) * \bruch{1}{x} }{x+1}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^3 +x^2 - 1 -x}{x+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1} \bruch{x^3 +x^2 - 1 -x}{x^2+x}[/mm]
Richtig.
>
> ( Polynomdivision: [mm](x^3+x^2-x-1)[/mm] / ([mm]x^2+x[/mm]) =x+ [mm]\bruch{-x-1}{x^2+x}[/mm])
Richtig
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm] x + [mm]\bruch{-x-1}{x^2+x}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm] x + [mm]\bruch{-1(x+1)}{x*(x+1)}[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1}[/mm] x + [mm]\bruch{-1}{x}[/mm]
> [mm](-1)-\bruch{1}{-1}[/mm]
> =0
Richtig.
>
> Bitte sagt mir dass es richtig ist :D
Rrrrrrrrrrrrrichtig!
LG Angela
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![[]](http://s1.directupload.net/images/140218/ezzii5s6.jpg){kind=small}
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