Ableitung arccos(x) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 So 27.01.2008 | | Autor: | Marizz |
Hallo,
ich versuche gerade arcus-Funktionen nachzuvollziehen und habe das Gefühl ein Brett vorm Kopf zuhaben =)
Ich habe eine Frage bezüglich der Ableitungen,...
1) zb von arccos(x) , [mm] [-1,1]\to[0,\pi]:
[/mm]
Die Ableitung geht ja folgendermaßen:
arccos'(x)= [mm] \bruch{-1}{sin(arccos(x))} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-cos²arccos(x)}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-x² }}
[/mm]
Wie kommt man denn auf sin(arccos(x)) = [mm] \wurzel{1-cos²arccos(x)} [/mm] und dann auf [mm] \wurzel{1-x²} [/mm] ??
Ist das einfach so oder gibt es da eine Formel die ich verpasst hab?
2.) ebenso wenig kann ich die Ableitung von arctan(x) verstehen:
arctan'(x) = cos²(arctan(x))
so weit so gut, aber dann
= [mm] \bruch{1}{tan²(arctan(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+x²}
[/mm]
Wäre lieb, wenn mir jemand diese ganzen Zwischenschritte erklären könnte...
Danke im Vorraus =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marizz!
> arccos'(x)= [mm]\bruch{-1}{sin(arccos(x))}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-cos²arccos(x)}}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-x² }}[/mm]
>
>
> Wie kommt man denn auf sin(arccos(x)) =
> [mm]\wurzel{1-cos²arccos(x)}[/mm] und dann auf [mm]\wurzel{1-x²}[/mm] ??
Na, es gilt doch [mm] \sin^2+\cos^2=1, [/mm] also auch [mm] \sin=\sqrt{1-\cos^2}
[/mm]
und außerdem:
[mm] \cos(arccos(x))=x [/mm] und [mm] cos^2(x)=cos(x)*cos(x), [/mm] also [mm] cos^2(arccos(x))=cos(arccos(x))*cos(arccos(x))=x*x=x^2 [/mm] 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:36 So 27.01.2008 | | Autor: | Marizz |
Hey Bastiane,
vielen, vielen Dank für deine Antwort, du hast mir auf jeden Fall weitergeholfen!
Ich denke mal mein Prof hat da einen Tippfehler im Skript, statt [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-cos²*arccos(x)}} [/mm] müsste also [mm] \bruch{-1}{\wurzel{1-cos²(arccos(x))}} [/mm] stehen...
Kurze nachfrage, wenn
cos(arcosx)= x ist dann auch
arccos(cosx)= x ?
und also arccosx = [mm] \bruch{1}{cosx}
[/mm]
ist das richtig?
Grüße Marizz
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Hallo!
> Hey Bastiane,
>
> vielen, vielen Dank für deine Antwort, du hast mir auf
> jeden Fall weitergeholfen!
>
> Ich denke mal mein Prof hat da einen Tippfehler im Skript,
> statt [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-cos²*arccos(x)}}[/mm] müsste also
> [mm]\bruch{-1}{\wurzel{1-cos²(arccos(x))}}[/mm] stehen...
>
Naja, Tippfehler eher nicht. Hinter dem cos² steht ja nix anderes, was als Argument dienen könnte. Demnach ist der arccos das Argument, und man kann auch die Klammern weg lassen. Aber mit Klammern ists deutlicher.
> Kurze nachfrage, wenn
> cos(arcosx)= x ist dann auch
> arccos(cosx)= x ?
Generell erstmal ja, aber man muß aufpassen. Ein einfacheres Beispiel:
[mm] \wurzel{x^2}
[/mm]
und
[mm] \wurzel{x}^2
[/mm]
gilt beides nur, wenn [mm] x\in\IR^+_0 [/mm] ist. Der obere Teil liefert ja immer nur den Betrag von x, schluckt also das Vorzeichen. Die untere Formel ist für negative Zahlen erst gar nicht definiert.
Überlege auch, wie man die Ableitung zeichnet: Man spiegelt die Funktion an der 1. Winkelhalbierenden. Bei der Parabel wird dabei zuvor der linke Zweig abgeschnitten! Das ist der, mit den negativen x!
Der Sinus ist periodisch, wenn man den einfach spiegelt, gäbe es auch mehrere y-Werte für einen x-Wert. Auch hier schneidet man, man benutzt nur den Teil von -90 bis +90° (Ich bleibe mal im Gradmaß)
Das führt dazu, daß der arcsin dir auch nur Werte in diesem Bereich liefert. Nun ist der sin aber periodisch, die Gleichung sin(x)=0,5 hätte neben der vom arcsin gelieferten Lösung noch weitere, die sich z.B. um n*360 unterscheiden. Das führt z.B. zu:
acrsin(360)=0
>
> und also arccosx = [mm]\bruch{1}{cosx}[/mm]
Woher hast du das? Man bezeichnet eine Umkehrfunktion gerne mit [mm] f^{-1}, [/mm] aber damit ist NICHT [mm] \frac{1}{f} [/mm] gemeint. Die Schreibweise ist daher leider zweideutig.
>
> ist das richtig?
>
> Grüße Marizz
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> 2.) ebenso wenig kann ich die Ableitung von arctan(x)
> verstehen:
>
> arctan'(x) = cos²(arctan(x))
Hallo,
das geht so:
t:= arctanx
==> tan(t)=x ==> [mm] \bruch{sint}{cost}=x [/mm] ==> [mm] x^2=\bruch{sin^2t}{cos^2t}= \bruch{1-cos^2t}{cos^2t}=\bruch{1}{cos^2t}-1 [/mm] ==> [mm] x^2+1=\bruch{1}{cos^2t} [/mm] ==> [mm] cos^2t=\bruch{1}{x^2+1},
[/mm]
womit wir oben sind:
[mm] \bruch{1}{x^2+1}=cos^2t=cos²(arctan(x)).
[/mm]
(Nebenbei: wenn ich's nicht grad gestern mit meinem Söhnchen gelernt hätte, wär's mir wohl heute nicht eingefallen - obgleich es nicht wirklich schwierig ist.)
Gruß v. Angela
>
> so weit so gut, aber dann
>
> = [mm]\bruch{1}{tan²(arctan(x))}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+x²}[/mm]
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> Wäre lieb, wenn mir jemand diese ganzen Zwischenschritte
> erklären könnte...
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> Danke im Vorraus =)
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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