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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen
a) f : x [mm] \mapsto \integral_{1}^{x}{\bruch{x}{1+sin^2t} dt}
[/mm]
b) g : x [mm] \mapsto \integral_{1}^{x^3}{\bruch{x}{1+sin^2t} dt}
[/mm]
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Hallo, ich brauche mal wieder eure Hilfe. Ich verstehe leider absolut nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Ich hab versucht zunächst das Integral zu berechnen (nach t) und dann abzuleiten (nach x), allerdings kam da nicht wirklich was schönes bei raus...Wäre für einen Ansatz und eine kleine Erklärung was die Aufgabe eigentlich bedeuten soll sehr dankbar.
LG
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> Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen
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> a) f : x [mm]\mapsto \integral_{1}^{x}{\bruch{x}{1+sin^2t} dt}[/mm]
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> b) g : x [mm]\mapsto \integral_{1}^{x^3}{\bruch{x}{1+sin^2t} dt}[/mm]
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> Hallo, ich brauche mal wieder eure Hilfe. Ich verstehe
> leider absolut nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen
> soll. Ich hab versucht zunächst das Integral zu berechnen
> (nach t) und dann abzuleiten (nach x), allerdings kam da
> nicht wirklich was schönes bei raus...
Beide gegebenen Funktionen sind Funktionen von $x$: $t$ ist nur die Integrationsvariable. Du musst also in beiden Fällen nach $x$ ableiten (nicht nach $t$).
Dazu musst Du, meiner unmassgeblichen Meinung nach, beachten, dass Du einen nur von $x$ abhängigen (aber von der Integrationsvariablen $t$ unabhängigen) Faktor (wie hier $x$) aus dem Integral herauziehen darfst.
Des weiteren wirst Du den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung verwenden wollen: Ist [mm] $f:[a;b]\rightarrow \IR$ [/mm] stetig, so ist die Funktion [mm] $x\mapsto \int_a^x f(x)\; [/mm] dx$ an allen Stellen [mm] $x\in [/mm] [a;b]$ differenzierbar und es gilt,
[mm]\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\; dt=f(x)[/mm]
>Wäre für einen Ansatz
> und eine kleine Erklärung was die Aufgabe eigentlich
> bedeuten soll sehr dankbar.
Ich denke es handelt sich um eine Anwendung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung (plus Ausrechnen des Integrals [mm] $\int_1^x\frac{1}{1+\sin^2(t)}\; [/mm] dt$.)
Bei a) wäre dies
[mm]f'(x)=\left(\int_1^x\frac{x}{1+\sin^2(t)}\;dt\right)'=\left(x\cdot \int_1^x\frac{1}{1+\sin^2(t)}\; dt\right)'=1\cdot \int_1^x\frac{1}{1+\sin^2(t)}\; dt+x\cdot \frac{1}{1+\sin^2(x)}[/mm]
Bei b) musst Du, weil $x$ in der oberen Grenze des Integrals in der Form [mm] $x^3$ [/mm] auftritt, beim Ableiten des Integrals nach $x$ noch die Kettenregel berücksichtigen: denn [mm] $x\mapsto \int_1^{x^3}\frac{1}{1+\sin^2(t)}\; [/mm] dt$ ist eine Zusammensetzung zweier Funktionen: von [mm] $x\mapsto [/mm] u := [mm] x^3$ [/mm] und [mm] $u\mapsto \int_1^u\frac{1}{1+\sin^2(t)}\; [/mm] dt$
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