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Forum "Schul-Analysis" - Ableitung bilden
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Ableitung bilden: ...ich kriegs nicht hin
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Sa 12.03.2005
Autor: camonchen

Also, ich habe ein Problem (wie wahrscheinlich viele, die in diesem Forum posten) naja, auf jeden Fall sollen wir als Hausaufgabe beweisen, dass gilt:
[mm] \integral_{}^{} {a^x dx} [/mm] = [mm] a^x [/mm] / lna

ich habe mir gedacht, dass man ja dann auch die Ableitung von [mm] a^x [/mm] / lna bilden kann und dann [mm] a^x [/mm] erhalten müsste. Das habe ich auch versucht, irgendwie klappt es aber nicht. *gg* Wenn jm hier also Mitleid mit mir hat und vielleicht auch kurz Zeit, wäre es super, wenn mir da jm helfen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitung bilden: Tipp: Umformung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Sa 12.03.2005
Autor: Loddar

Guten Abend camonchen,

auch Dir hier [willkommenmr] !!

Wir freuen uns hier auch über eine nette Begrüßung ;-) ...

Mitleid hab’ ich nicht. Aber einen Tipp kannst Du von mir haben ... [lol]


Reicht Dir bereits folgender Hinweis, um Deine Aufgabe zu lösen?

Es gilt nämlich: [mm] $a^x [/mm] \ = \ [mm] \left(e^{\ln(a)}\right)^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm]

Damit kannst Du die entsprechende Ableitung bilden oder das Integral (über Substitution) lösen.


Sonst einfach noch mal fragen ...

Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung bilden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Sa 12.03.2005
Autor: camonchen

Hey, entschuldigt, natürlich ist es nicht sehr höflich, euch ohne jede Begrüßung gleich mit ner Frage zu überfallen. Und dass, obwohl mir die Führung dieses Forums wirklich gut gefällt, es wirkt alles sehr professionell.
Vielen Dank auch dir, Loddar, für den Tipp. Ich muss allerdings gestehen, dass ich die Aufgabe trotzdem nicht rausbekomme. Ich hab also die Ableitung gebildet und das dann mit der Quotientenregel  und der Kettenregel, also, das mit der Substitution, weiter bearbeitet. ich bin jetzt so weit (wenns denn überhaupt stimmt)
[mm] \bruch{e^{lna*x} * (ln(a))^{2} - e^{lna*x} * ln (a)}{(ln(a))^{2}} [/mm]

Also, mal angenommen, es wäre ungleublicherweise soweit richtig, was müsste ich denn jetzt machen? [mm] e^{lna*x} [/mm] ausklammern vielleicht? Aber dann komm ich auch nicht weiter :-(

Bezug
                        
Bezug
Ableitung bilden: ln(a) = konstant !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Sa 12.03.2005
Autor: Loddar

Hallo camonchen!

> Und dass, obwohl mir die Führung dieses Forums
> wirklich gut gefällt, es wirkt alles sehr professionell.

Danke, danke ... [verlegen]



>  [mm]\bruch{e^{lna*x} * (ln(a))^{2} - e^{lna*x} * ln (a)}{(ln(a))^{2}}[/mm]

[notok] Wie Du schon selber angedeutet hast, stimmt diese Ableitung nicht (ich nehme mal an, Du wolltest [mm] $\bruch{a^x}{\ln(a)}$ [/mm] ableiten).


Der Fehler, denn Du machst ist folgender:
Da unsere Basis $a$ konstant ist, gilt das natürlich auch für [mm] $\ln(a)$ [/mm] !!

Wenn Du also die Ableitung bildest, behandle den Ausdruck [mm] $\ln(a)$ [/mm] wie eine konstante Zahl.
Das heißt auch, Du brauchst für die Ableitung nicht diese umständliche MBQuotientenregel benutzen.

Wenn Du aber unbedingt mit der Quotientenregel arbeiten möchtest ;-), solltest Du beachten: [mm] $\left[ \ \ln(a) \ \right]' [/mm] \ = \ 0$ !


Willst Du es nochmal versuchen?


Gruß
Loddar

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Bezug
Ableitung bilden: es ist hoffnungslos
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Sa 12.03.2005
Autor: camonchen


> Willst Du es nochmal versuchen?

Hab ich. Und ich bin zu der Erkenntnis gekommen, dass ich einfach absolut unfähig bin.
Bitte, bitte, bitte, schreib deinen Lösungsweg auf. Glaub mir, ich hab mich echt daran versucht, aber ich bin einfach zu blöd *g*. Da kann man nichts machen. Ich fürchte, auch wenn man mir jetzt noch 100 Tipps gibt, komm ich nicht drauf.

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung bilden: 2 Wege
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Sa 12.03.2005
Autor: Loddar

Hello again ...


> Hab ich. Und ich bin zu der Erkenntnis gekommen, dass ich
> einfach absolut unfähig bin.

Das glaub' ich nicht ...

(Vielleicht liegt's auch an der Uhrzeit ;-) )


1. Weg : Nachweis über Ableitung der (vorgegebenen) Stammfunktion

$F(x) \ = \ [mm] \bruch{a^x}{\ln(a)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)} [/mm] * [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow$ [/mm]  Ableitung mit MBKettenregel
$F'(x) \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{\ln(a)}}_{= \ konstant} [/mm] * [mm] \underbrace{e^{x*\ln(a)}}_{= \ "aussere Abl.} [/mm] *  [mm] \underbrace{\ln(a)}_{= \ innere \ Abl.} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\ln(a)}{\ln(a)} [/mm] * [mm] e^{x*\ln(a)} [/mm] \ = \ 1 * [mm] \underbrace{e^{x*\ln(a)}}_{= \ a^x} [/mm] \ = \ [mm] a^x [/mm] \ = \ f(x)$ [ok]



2. Weg : Integration über Substitutionsmethode

[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {f(x) \ dx} \ = \ [mm] \integral_{}^{} {a^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {e^{x*\ln(a)} \ dx}$ [/mm]


Substitution:
$z \ := \ [mm] x*\ln(a)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
$z' \ = \ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)$ $\gdw$ [/mm]    $dx \ = \ [mm] \bruch{dz}{\ln(a)}$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
[mm] $\integral_{}^{} {e^{x*\ln(a)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {e^z \ \bruch{dz}{\ln(a)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)} [/mm] * [mm] \integral_{}^{} {e^z \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)} [/mm] * [mm] e^z [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)} [/mm] * [mm] \underbrace{e^{x*\ln(a)}}_{= \ a^x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(a)} [/mm] * [mm] a^x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a^x}{\ln(a)} [/mm] \ + \ C$ [ok]


Nun alle Klarheiten beseitigt?

Gruß
Loddar

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Bezug
Ableitung bilden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:27 So 13.03.2005
Autor: camonchen

Mit Sicherheit lag es ausschließlich an der späten Stunde, normalerweise fliegt mir sowas ja praktisch zu *gg*
Aber vielen, vielen Dank, Loddar. Jetzt hab ichs verstanden :-)
Was lange währt, wird endlich gut.  
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