Ableitung der Funktion x^3 < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:13 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Ableitung an einer beliebigen Stelle [mm] x_0 [/mm] für [mm] x^3. [/mm] |
Hallo :)
Wir behandeln gerade in Mathe das Thema Ableitung und haben dazu eine Hausaufgabe bekommen, die ich noch nicht ganz verstehe.
Wir sollen die Ableitung für [mm] x^3 [/mm] an [mm] x_0 [/mm] bestimmen. Ich weiß schon, dass [mm] 3x_0^2 [/mm] rauskommt, da ich es mit der Formel [mm] n*x_0^{n-1} [/mm] .
Ich weiß nur nicht, wie man darauf kommt, für [mm] x^2 [/mm] hatte ich die Rechnung aber bei [mm] x^3 [/mm] weiß ich nicht, wie man darauf kommt...
Danke schon mal für eure Antworten :)
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Hallo Peerless!
Du musst hier mit dem Differentalquotienten vorgehen:
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ := \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{x^3-x_0^3}{x-x_0} [/mm] \ = \ ...$$
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$a^3-b^3 [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\left(a^2+ab+b^2\right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Hallo :)
Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Also bei dem ersten Teil, den du aufgeschrieben hattest war ich auch schon... Mir ging es nur darum, wie ich diesen Teil dann so auflösen kann, dass ich darauf komme, den Rest mit Limes machen zu können...
Z.B. bei [mm] x^{2} [/mm] hat man ja dann die 1.Binomische Formel und kann dann einen Faktor wegkürzen...
Geht das bei [mm] x^{3} [/mm] auch oder muss man es gleich so mit dem Limes machen, wie du es hingeschrieben hast?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Hat Roadrunner nicht das
"Bedenke, dass gilt:
$ [mm] a^3-b^3 [/mm] \ = \ [mm] (a-b)\cdot{}\left(a^2+ab+b^2\right) [/mm] $"
geschrieben ? Ich glaube schon. Setz doch das mal um !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Doch hat er, tut mir leid, hatte ich völlig überlesen...
Also bin ich jetzt bei [mm] x^{2} [/mm] - 2xx0 + [mm] x0^{2} [/mm] angekommen...
Weil der Rest hat sich ja weggekürzt...
Kann man x und x0 noch weiter vereinfachen oder bleibt das dann so und man nimmt davon den Limes?
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Hallo Peerless,
> Doch hat er, tut mir leid, hatte ich völlig überlesen...
> Also bin ich jetzt bei [mm]x^{2}[/mm] - 2xx0 + [mm]x0^{2}[/mm]
> angekommen... ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Völliger Humbuk.
Roadrunner hat's dir doch hingeschrieben, wieso benutzt du das nicht ???
Rechne ausführlich vor, wie du was rechnest.
Wenn du so gar nicht auf Hinweise eingehst, wird wohl keiner Lust haben, dir das vorzurechnen.
So macht Hilfe keinen Spaß!
> Weil der Rest hat sich ja weggekürzt...
Wie? Da kommt was völlig anderes raus.
Wenn du Roadrunners Hinweis beachtet, kürzt sich in der Tat einiges raus, aber es bleibt was ganz anderes!
> Kann man x und x0 noch weiter vereinfachen oder bleibt das
> dann so und man nimmt davon den Limes?
Den Limes bildet man, sobald es geht, hier also sobald man im Nenner die Gefahr des Durh-Null-Teilens umgangen hat
Rechne vor!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Also.
Ich habe die Formel f(x)-f(x0) / x - x0 angewendet.
Dann habe ich eingesetzt:
[mm] x^3 [/mm] - [mm] x0^3 [/mm] / x- x0
Dann hab ich die 2. Binomische Formel angewendet:
(x-x0) * (x-x0) * (x-x0) / x-x0
Dann wird ja 2mal (x-x0) rausgekürzt und es bleibt:
(x-x0) * (x-x0)
Und das ist ja die 2. Binomische Formel. Also habe ich es ausgerechnet
[mm] x^2 [/mm] - 2*x*x0 + [mm] x^2
[/mm]
Wo ist denn da mein Fehler?
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Hallo nochmal,
> Also.
> Ich habe die Formel f(x)-f(x0) / x - x0 angewendet.
Die Formel kenne ich nicht, du schreibst [mm] $f(x)-\frac{f(x_0)}{x}-x_0$
[/mm]
Immerhin gilt in Westeuropa Punkt- vor Strichrechnung.
Setze Klammern oder noch wünschenswerter: benutze den Formeleditor!
>
> Dann habe ich eingesetzt:
> [mm]x^3[/mm] - [mm]x0^3[/mm] / x- x0
>
> Dann hab ich die 2. Binomische Formel angewendet:
> (x-x0) * (x-x0) * (x-x0) / x-x0 [notok9
Eben nicht.
Du ignorierst sämtliche Hilfe.
Was du da als Produkt schreibst, ist [mm] $(x-x_0)^3$
[/mm]
Hier steht im Zähler aber [mm] $x^3-x_0^3$
[/mm]
Das ist was ganz anderes, und Roadrunner hat dir eine Zerlegung genannt.
Was sollen wir noch tun, damit du auf die Hinweise eingehst?
Es vorsingen? Oder es malen?
>
> Dann wird ja 2mal (x-x0) rausgekürzt und es bleibt:
> (x-x0) * (x-x0)
>
> Und das ist ja die 2. Binomische Formel. Also habe ich es
> ausgerechnet
> [mm]x^2[/mm] - 2*x*x0 + [mm]x^2[/mm]
>
> Wo ist denn da mein Fehler?
Dein Fehler ist, dass du die Antworten nicht liest.
Schreibe dir Roadrunenrs Tipp raus und dann nochmal langsam alles auf nem Blatt Papier rechnen.
Danach nochmal posten ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Ich habe doch genau die Zerlegung angewendet, die Roadrunner geschrieben hat!
Und statt mich hier anzumotzen, dass ich es nicht verstanden habe, könntest du es mir vielleicht mal so erklären, dass ich es verstehe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe doch genau die Zerlegung angewendet, die
> Roadrunner geschrieben hat!
Das hast Du nicht !
Bei Dir war [mm] $(x-x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0)= x^3-x_0^3$. [/mm] Das ist aber falsch, das hat Dir Schachuzipus gesagt ! Es ist [mm] $(x-x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0) [/mm] * [mm] (x-x_0)= (x-x_0)^3$
[/mm]
Das brauchen wir hier aber nicht.
> Und statt mich hier anzumotzen, dass ich es nicht
> verstanden habe, könntest du es mir vielleicht mal so
> erklären, dass ich es verstehe!
Ruhig Blut:
[mm] $\bruch{x^3-x_0^3}{x-x_0}= \bruch{(x-x_0)*(x^2+x*x_0+x_0^2)}{x-x_0}= x^2+x*x_0+x_0^2$
[/mm]
So und jetzt lass x [mm] \to x_0 [/mm] gehen
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Super, vielen Dank!
Das hab ich jetzt verstanden...
Und es kommt zum Glück auch das richtige Ergebnis raus [mm] (3x0^2).
[/mm]
Macht man das dann bei [mm] x^4 [/mm] usw genauso?
D.h. bei [mm] x^4 [/mm] könnte ich es doppelt auflösen?
Also
[mm] x^4 [/mm] - [mm] x0^4 [/mm] / x-x0
[mm] (x^2 [/mm] + 2xx0 + [mm] x0^2) (x^2 [/mm] + 2xx0 + [mm] x0^2)
[/mm]
Und dann miteinander ausmultiplizieren?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Also, ich habe [mm] (x^4 [/mm] - [mm] x0^4) [/mm] / (x-x0).
Aber wenn ich das mache, was du sagst, nämlich
[mm] (x^2 [/mm] - [mm] x0^2) (x^2 [/mm] + [mm] x0^2) [/mm] und dann die 3. Binomische Formel anwende, dann kommt doch wieder [mm] x^4 [/mm] - [mm] x0^4 [/mm] raus und das hatte ich ja schon...
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> Also, ich habe [mm](x^4[/mm] - [mm]x0^4)[/mm] / (x-x0).
> Aber wenn ich das mache, was du sagst, nämlich
>
> [mm](x^2[/mm] - [mm]x0^2) (x^2[/mm] + [mm]x0^2)[/mm] und dann die 3. Binomische Formel
> anwende, dann kommt doch wieder [mm]x^4[/mm] - [mm]x0^4[/mm] raus und das
> hatte ich ja schon...
>
>
Hallo,
schreib in Zukunft bitte Indizes, das liest sich entschieden bequemer.
> [mm](x^4[/mm] - [mm]x0^4)[/mm] / (x-x0)
[mm] =\bruch{(x^2-x_0^2)(x_2+x^2)}{x-x_0}
[/mm]
Jetzt nochmal die dritte binomische Formel
[mm] =\bruch{(x-x_0)(x+x_0)(x_2+x_0^2)}{x-x_0}
[/mm]
= ???
Und dann den limes, und alles wird gut.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Di 09.02.2010 | | Autor: | Peerless |
Juhu, ich habs tatsächlich hinbekommen :)
Dann versuch ich mich mal an [mm] x^5 [/mm] bis x^10...
Vielen Dank für eure Hilfe!!!!!!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
