Ableitung der Umkehrfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Missy |
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Hallo!
Also, ich brauche einmal eure Hilfe. Ich schreibe am Montag ne matheklausur und weiß nicht ganz genau, wie die Ableitung der Umkehrfunktion ist.
Also:
Gegeben ist die funtion: [mm] y=x^3
[/mm]
1.) Umformen zu x=3.Wurzel von y
Man erhält die Umkehrfunktion.
Wie berechne ich dann die Ableitung?
Danke für eure Hilfe!
Missy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Missy,
Das von Dir angegebenen Beispiel [mm] $y=x^3$ [/mm] bzw. [mm] $x=\wurzel[3]{y}$ [/mm] könnte man zunächst einmal auch lösen, ohne die Ableitung von Umkehrfunktionen zu kennen: [mm] $x=\wurzel[3]{y}=y^{1/3}$, [/mm] folglich [mm] $dx/dy=y^{-2/3}/3$, [/mm] gemäß der Regel [mm] $(x^r)^\prime=r\,x^{r-1}$ [/mm] (mit r=1/3 und die Rollen von x und y vertauscht).
Aber jetzt zu Deiner eigentlichen Frage:
Sei y=f(x) die gegebene Funktion, x=g(y) die Umkehrfunktion von f.
Dann gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion die allgemeine Formel: [mm] $g^\prime(y)=1/f^\prime(x)=1/f^\prime(g(y))$.
[/mm]
In obigem Beispiel: [mm] $f(x)=x^3$, $g(y)=\wurzel[3]{y}$, [/mm] daher [mm] $f^\prime(x)=3x^2$ [/mm] und folglich [mm] $g^\prime(y)\,=\,1/(3x^2)\,=\,1/(3g(y)^2)\,=\,1/(3(\wurzel[3]{y})^2)\,=\,1/3\,y^{-2/3}$ [/mm] - Wie zuvor.
Wirklich wichtig ist diese allgemeine Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion, wenn man z. B. die Ableitung von [mm] $\arcsin$ [/mm] oder so berechnen will.
Grüße,
Galois
![[]](/images/popup.gif) Bonner Mathe-Forum
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Missy |
Hey cool, danke schon mal.
Aber ich hab noch eine frage.
Und zwar: Ich habe jetzt g`(y) gegeben und mein Lehrer meint, wir müssten das dann zu g´(x) umformen. Geht das einfach, indem für y, x tauscht und für g´(y) , g´(x) tauscht?
so hab ich das nämlich in meinem Mathebuch verstanden.
Danke für die Hilfe!
Missy
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Hi, Missy,
das hast Du richtig verstanden!
Auch wenn Du "nur" die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion bestimmen sollst, musst Du irgendwann die Variablen tauschen:
f: y = [mm] x^{3}
[/mm]
Für y [mm] \ge [/mm] 0 nach x auflösen: x = [mm] \wurzel[3]{y}
[/mm]
Funktionsgleichung der Umkehrfunktion
g: y = [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 0
(Für x < 0 käme übrigens y = - [mm] \wurzel[3]{-x} [/mm] raus!
Und die von Galois berechnete Ableitung gilt natürlich nur für x [mm] \not= [/mm] 0)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Missy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
gegeben ist die Funktion: f(x)=x+x³
Ich soll nun die Ableitung der Umkehrfunktion machen, aber ich bekomme noch nicht einmal die Umkehrfunktion.
Also: y=x+x³
Nun muss ich ja nach x auflösen, aberwie geht das mit 2 Variablen von x?
Danke für eure hilfe!
Missy
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Hallo Missy,
> gegeben ist die Funktion: [mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] x+x^3$
[/mm]
> Ich soll nun die Ableitung der Umkehrfunktion machen, aber
> ich bekomme noch nicht einmal die Umkehrfunktion.
Wie Galois festgestellt hat, lag ich hier wohl ziemlich daneben. Ich versuche jetzt mal den Satz so anzuwenden, wie er es gesagt hat:
Wir haben also die Funktion [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] x+x^3$. [/mm] Gesucht ist die erste Ableitung der Umkehrfunktion [mm] $\bar{f}$ [/mm] von $f$ an der Stelle [mm] $f\left(x_0\right)$.
[/mm]
Zunächst einmal müssen wir wohl doch [mm] $\bar{f}$ [/mm] bestimmen. Glücklicherweise gibt es für Gleichungen 3ten Grades die Formeln von Cardano. Wir müssen also die Gleichung:
$y = [mm] x+x^3 \gdw -x^3-x+y [/mm] = 0$
nach $x$ auflösen. Dabei gehen wir nach dem obigen "Kochrezept" vor:
[mm] $ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d = [mm] \left(-1\right)*x^3 [/mm] + [mm] 0*x^2 [/mm] + [mm] \left(-1\right)*x [/mm] + y = 0$
Jetzt setzen wir $k := [mm] x+\frac{b}{3a} [/mm] = x$, da $b = 0$. Wir erhalten:
[mm] $x^3 [/mm] + 3px + 2q = 0$ mit $3p = [mm] \frac{3ac-b^2}{3a^2} [/mm] = [mm] \frac{3}{3} [/mm] = 1$ und $2q = [mm] \frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a} [/mm] = [mm] \frac{d}{a} [/mm] = -y$.
Damit ist $p = [mm] \frac{1}{3},q=-\frac{y}{2}$.
[/mm]
Wegen [mm] $q^2 [/mm] + [mm] p^3 [/mm] = [mm] \frac{y^2}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{27} [/mm] > 0$ hat die Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen. Uns interessiert aber nur die reelle Lösung, denke ich:
[m]x_0 = u + v = \sqrt[3]{{ - q + \sqrt {q^2 + p^3 } }} + \sqrt[3]{{ - q - \sqrt {q^2 + p^3 } }} = \sqrt[3]{{\frac{y}
{2} + \sqrt {\frac{{y^2 }}
{4} + \frac{1}
{{27}}} }} + \sqrt[3]{{\frac{y}
{2} - \sqrt {\frac{{y^2 }}
{4} + \frac{1}
{{27}}} }}[/m]
Zur Sicherheit machen wir noch die Probe:
[mm]\begin{array}{rl} {} & -\left(u+v\right)^3 - u - v + y \\ = & -\left(u^2 + 2uv + v^2\right)\left(u+v\right) - u - v + y \\ = & -\left(u^3 + u^2v + 2u^2v + 2uv^2 + uv^2 + v^3\right) - u - v + y \\ = & -\left(u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3\right) - u - v + y \\ = & -u^3 - 3u^2v - 3uv^2 - v^3 - u - v + y \\ = & -\dfrac{y}{2} - \sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}-3u^2v - 3uv^2 - \dfrac{y}{2} + \sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}-u-v+y \\ = & -3u^2v-3uv^2-u-v \\ = & -3\sqrt[3]{\left(\dfrac{y}{2}+\sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}\right)^2}\sqrt[3]{{\dfrac{y}
{2} - \sqrt {\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}} }}-3\sqrt[3]{\dfrac{y}{2}+\sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}}\sqrt[3]{ \left({\dfrac{y}
{2} - \sqrt {\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}} }\right)^2}-u-v \\ = & -3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{4}+y\sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}\sqrt[3]{{\dfrac{y}
{2} - \sqrt {\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}} }}-3\sqrt[3]{\dfrac{y}{2}+\sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}}\sqrt[3]{{\dfrac{y^2}
{4} - y\sqrt {\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}} +\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}}}-u-v \\ = & -3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{2}+y\sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}+\dfrac{1}{27}}\sqrt[3]{{\dfrac{y}
{2} - \sqrt {\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}} }}-3\sqrt[3]{\dfrac{y}{2}+\sqrt{\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27}}}\sqrt[3]{{\dfrac{y^2}
{2} - y\sqrt {\dfrac{{y^2 }}
{4} + \dfrac{1}
{{27}}} + \dfrac{1}
{{27}}}}-u-v \\ = & -3 \sqrt[3]
{
\dfrac{y^3}{4} - \dfrac{y^2}{2}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27} } +
\dfrac{y^2}{2}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} } -
y\left( \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} \right) +
\dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{y}{2} - \dfrac{1}{27}\cdot\sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
} - \\ {} & 3 \sqrt[3]
{
\dfrac{y^3}{4} - \dfrac{y^2}{2}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27} } +
\dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{y}{2} + \dfrac{y^2}{2}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27} } -
y\left( \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27} \right) +
\dfrac{1}{27}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4}+\dfrac{1}{27} }
}
-u-v \\ = & -3 \sqrt[3]
{
\dfrac{y^3}{4} - \dfrac{y^3}{4} - \dfrac{y}{27} + \dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{y}{2}
- \dfrac{1}{27}\cdot\sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}-3 \sqrt[3]
{
\dfrac{y^3}{4} + \dfrac{1}{27}\cdot\dfrac{y}{2} - \dfrac{y^3}{4} - \dfrac{y}{27} +
\dfrac{1}{27}\sqrt{ \dfrac{y^3}{4} + \dfrac{1}{27} }
}-u-v\end{array}[/mm]
[mm]
\begin{array}{rl}
= & -3 \sqrt[3]
{
-\dfrac{y}{27\cdot 2} - \dfrac{1}{27}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}
-3 \sqrt[3]
{
-\dfrac{y}{27\cdot 2} + \dfrac{1}{27}\sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}
-\sqrt[3]
{
\dfrac{y}{2} + \sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}
-\sqrt[3]
{
\dfrac{y}{2} - \sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
} \\ \stackrel{\begin{subarray}{l}-\frac{1}{27}\text{ aus den vorderen beiden} \\ \text{ 3er--Wurzeln ausklammern}\end{subarray}}{=}&\sqrt[3]
{
\dfrac{y}{2} + \sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}
+ \sqrt[3]
{
\dfrac{y}{2} - \sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}
- \sqrt[3]
{
\dfrac{y}{2} + \sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
}
- \sqrt[3]
{
\dfrac{y}{2} - \sqrt{ \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{1}{27} }
} = 0
\end{array}
[/mm]
Ok, nun gilt nach dem obigen Satz:
[mm] $\bar{f}'\left(y_0\right) [/mm] = [mm] \frac{1}{f'\left(x_0\right)} [/mm] = [mm] \frac{1}{3x_0^2+1}$. [/mm] Wenn Du nun für [mm] $x_0$ [/mm] den obigen Riesenterm einsetzt, erhälst Du die Ableitung von [mm] $\bar{f}$ [/mm] an der Stelle [mm] $f\left(x_0\right)$.
[/mm]
Gruß
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Missy |
heay danke, jezt kann ich schon aml einen Aufgabentyp mehr für die Mathearbeit!
Danke!
Missy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Sa 24.09.2005 | | Autor: | freakjan |
Salam missy E :D
ich hab auch genau die Lösung gesucht, die du auch gesucht hast ;D
Mfg
John A.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Karl Pech,
> Ohne die Umkehrfunktion zu kennen, kannst Du
> über den von Galois erwähnten Satz ihre
> Ableitung bestimmen
aber nicht explizit (s. u.)!
> Nach diesem Satz gilt einfach:
>
> [mm]g{\color{red}'}\left(x\right) = \frac{1}{f'\left(x\right)} = \frac{1}{3x^2+1}[/mm]
(Ich habe mir mal erlaubt, bei Dir [mm] $\bar [/mm] f$ durch $g$ zu ersetzen, da man sonst die Ableitung der Umkehrfunktion leicht mit der Umkehrung der Ableitung verwechseln kann.)
Korrekt müßte diese Zeile lauten:
[mm] $g'({\color{red}y}) [/mm] = [mm] \frac{1}{f'(g(y))} [/mm] = [mm] \frac{1}{3g(y)^2+1}$,
[/mm]
oder (nach Vertauschen von x und y)
$g'(x) = [mm] \frac{1}{f'({\color{red}g}(x))} [/mm] = [mm] \frac{1}{3{\color{red}g}(x)^2+1}$.
[/mm]
> Dann gilt nach dem obigen Satz:
> [mm]\int {\frac{dx}{3x^2+1}} = g[/mm]
Dann wäre g wegen [mm] $\arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$ [/mm] ja soetwas wie [mm] $\arctan$. [/mm] In Wirklichkeit ist g aber ein Wurzelausdruck! (Zum Auflösen von [mm] $x^3+x-y=0$ [/mm] nach x gibt es da eine furchtbar komplizierte Formel...)
Hoffentlich erfährt Missy das noch vor seiner Mathearbeit... :/
Grüße,
Galois
Bonner Mathe-Forum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Zwerglein, hallo Missy,
> f: y = [mm]x^{3}[/mm]
>
> Für y [mm]\ge[/mm] 0 nach x auflösen: x = [mm]\wurzel[3]{y}[/mm]
>
> Funktionsgleichung der Umkehrfunktion
> g: y = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] mit x [mm]\ge[/mm] 0
>
> (Für x < 0 käme übrigens y = - [mm]\wurzel[3]{-x}[/mm] raus!
Allerdings ist [mm] $-\wurzel[3]{-x}\,=\,\wurzel[3]{x}$ [/mm] wegen [mm] $(-1)^3=-1$, [/mm] d. h., die angegebene Umkehrfunktion stimmt durchaus für ganz [mm] $\IR$. [/mm] Ist halt keine Quadratwurzel...
> Und die von Galois berechnete Ableitung gilt
> natürlich nur für x [mm]\not=[/mm] 0)
Stimmt. Ich schwebe bei solchen Dingen immer etwas "über den Wolken". :)
Grüße,
Galois
Bonner Mathe-Forum
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 So 25.09.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Galois,
> > Funktionsgleichung der Umkehrfunktion
> > g: y = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] mit x [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > (Für x < 0 käme übrigens y = - [mm]\wurzel[3]{-x}[/mm] raus!
> Allerdings ist [mm]-\wurzel[3]{-x}\,=\,\wurzel[3]{x}[/mm] wegen
> [mm](-1)^3=-1[/mm], d. h., die angegebene Umkehrfunktion stimmt
> durchaus für ganz [mm]\IR[/mm].
Ist nicht OK!
Die Definitionsmenge von [mm] \wurzel[n]{x} [/mm] ist immer [mm] \IR_{0}^{+}
[/mm]
UNABHÄNGIG von n, also z.B. auch für n=3.
Dies ist auch vernünftig, denn man käme sonst ganz schön in Schwierigkeiten mit den Potenzgesetzen.
Beispiel: Nimm' an, ich erlaube: [mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] = -2.
Andererseits ist:
[mm] \wurzel[3]{-8} [/mm] = [mm] (-8)^\bruch{1}{3}
[/mm]
= [mm] (-8)^\bruch{2}{6} [/mm]
= [mm] ((-8)^{2})^\bruch{1}{6} [/mm]
= [mm] \wurzel[6]{64} [/mm] = +2 (!!!)
Um solche Widersprüche zu vermeiden, kann man gar nicht anders als die Definitionsmenge sämtlicher Wurzelterme entsprechend einzuschränken!
Die Gleichung [mm] x^{3} [/mm] = -a mit a>0 hat daher die Lösung x = [mm] -\wurzel[3]{a}
[/mm]
(und NICHT [mm] \wurzel[3]{-a} [/mm] !!!!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Galois |
Hallo Zwerglein,
> > Allerdings ist [mm]-\wurzel[3]{-x}\,=\,\wurzel[3]{x}[/mm] wegen
> > [mm](-1)^3=-1[/mm], d. h., die angegebene Umkehrfunktion
> > stimmt durchaus für ganz [mm]\IR[/mm].
>
> Ist nicht OK!
> Die Definitionsmenge von [mm]\wurzel[n]{x}[/mm] ist immer [mm]\IR_{0}^{+}[/mm]
> UNABHÄNGIG von n, also z.B. auch für n=3.
Ich vermute, wir gehen hier von unterschiedlichen Definitionen aus.
Aus meiner Sicht ist [mm] $\wurzel[n]{x}$ [/mm] als die Umkehrung von [mm] $x^n$ [/mm] definiert (für gerade n mit der üblichen Einschränkung). Rationale Potenzen werden hingegen über die Exponentialfunktion definiert: [mm] $x^r:=e^{r\ln x}$ [/mm] für $r>0$ und [mm] $x\ge [/mm] 0$. (Der Fall $x=0$ ist extra zu behandeln.)
Die Übereinstimmung [mm] $\wurzel[n]{x}=x^{1/n}$ [/mm] für [mm] $n\in\IN$ [/mm] und $x>0$ (und auch für x=0) ist dann ein Satz.
> Dies ist auch vernünftig, denn man käme sonst ganz
> schön in Schwierigkeiten mit den Potenzgesetzen.
Vorteile meiner Vorgehensweise:
1.) Die Umkehrfunktion von [mm] $x^3$ [/mm] hat einen Namen.
2.) Man kann die Wurzelfunktionen in der Schule einführen, ohne zuvor die Exponentialfunktion / den Logarithmus behandeln zu müssen.
3.) Die Potenzgesetze bleiben gültig.
> [..]
> Um solche Widersprüche zu vermeiden, kann man gar
> nicht anders als die Definitionsmenge sämtlicher
> Wurzelterme entsprechend einzuschränken!
Oder man unterscheidet eben formal zwischen Wurzeln und gebrochenen Exponenten, wie ich es tue.
> Die Gleichung [mm]x^{3}[/mm] = -a mit a>0 hat daher die Lösung
> x = [mm]-\wurzel[3]{a}[/mm]
> (und NICHT [mm]\wurzel[3]{-a}[/mm] !!!!)
Wie gesagt, aus meiner Sicht sind beide Terme für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] definiert und gleich.
Kann gut sein, daß sich die offizielle Lehrmeinung hier von Bundesland zu Bundesland unterscheidet. Kulturhoheit der Länder eben...
Viel schlimmer finde ich übrigens den "Quark", den Karl_Pech unterdessen in diesem Thread produziert hat. :(
Grüße,
Galois
Bonner Mathe-Forum
EDIT 28.9.: Inzwischen hat Karl_Pech seinen von mir angesprochenen Beitrag vollständig überarbeitet. Die aktuelle Version ist 100% "quark"frei! 
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