Ableitung der allgemeinen Exp. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 17.09.2006 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | | Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion [mm] f(x)=a^x [/mm] und der allgemeinen Logarithmusfunktion g(x)=loga(b) |
Hallo,
ich komme hier irgend wie nicht mehr weiter.
Wir sollen, wie schon geschrieben die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion ableiten.
Hier erst mal mein Ansatz über den Differenzenquotienten:
[mm] f'(x)=\limes_{h\rightarrow\0}(( a^{x+h}-a^{x} [/mm] )/h) = [mm] a^{x} \limes_{h\rightarrow\0}((a^{h}-1/)h)
[/mm]
durch ausklammern und vereinfachen.
Jetzt komme ich nicht weiter, ich brauche jetzt ja nur noch den Grenzwert, aber wie geht der?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen und mir auch schon mal den Ansatz für die Logarithmusableitung verraten.
Mit freundlichen Grüßen
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 17.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Steini,
kennst Du evtl. schon die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, also f(x) = [mm] e^{x} [/mm] ?
(Dann wär's leichter!)
mfG!
Zwerglein
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Hallo Stefan,
> Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion [mm]f(x)=a^x[/mm] und
> der allgemeinen Logarithmusfunktion g(x)=loga(b)
> Hallo,
> ich komme hier irgend wie nicht mehr weiter.
> Wir sollen, wie schon geschrieben die Exponentialfunktion
> und die Logarithmusfunktion ableiten.
>
> Hier erst mal mein Ansatz über den Differenzenquotienten:
> [mm]f'(x)=\limes_{h\rightarrow 0}(( a^{x+h}-a^{x}[/mm] )/h) = [mm]a^{x} \limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{a^{h}-1}{h})[/mm]
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> durch ausklammern und vereinfachen.
>
> Jetzt komme ich nicht weiter, ich brauche jetzt ja nur noch
> den Grenzwert, aber wie geht der?
Schau mal (ausnahmsweise?) in dein Mathebuch, Kapitel "Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung".
Dort sollte es ganz genau erklärt werden.
Der Trick ist, dass man für jedes a diesen Grenzwert separat finden muss und sich dann fragt, ob es nicht auch einfacher geht.
Etwa: ich finde eine solche Zahl a>0, dass dieser Grenzwert genau =1 ist: das wäre wie Weihnachten und Ostern zusammen, denn dann fällt dieser Faktor nicht mehr ins Gewicht und die Ableitung dieser Funktion f(x) wäre: f'(x) = f(x). Ist das nicht traumhaft?!
Und so eine Zahl gibt es: Eulersche Zahl. Wir haben schon (fast) Weihnachten. 
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen und mir auch schon mal den
> Ansatz für die Logarithmusableitung verraten.
>
> Mit freundlichen Grüßen
> Stefan
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 17.09.2006 | | Autor: | Steini |
Mir ist es aber wichtig, dass ich die allgemeine Exponentialfunktion ohne die natürliche ableiten kann. dass das dann nachher geht ist schon klar, aber ich möchte die Ableitung ohne die natürliche haben.
Wäre echt nett, wenn das jemand erklären könnte.
Mit freundlichen Grüßen
Stefan
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> Mir ist es aber wichtig, dass ich die allgemeine
> Exponentialfunktion ohne die natürliche ableiten kann. dass
> das dann nachher geht ist schon klar, aber ich möchte die
> Ableitung ohne die natürliche haben.
> Wäre echt nett, wenn das jemand erklären könnte.
Dann setz dich hin und berechne den Grenzwert für verschiedene Werte für a,
etwa $a [mm] \in \{2; 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 3 \}$ [/mm] und du wirst dir die Eulersche Zahl dringlichst wünschen.
Auf Schulniveau gibt es meines Erachtens keinen anderen Weg. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß informix
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