Ableitung des tangens < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Sa 05.03.2005 | | Autor: | moozika |
Schönen Abend erstmal,
und zwar brauche ich bis montag unbedingt eine ausführliche Ableitung vom tangens.
Ich hab die ableitung eigentlich schon hingekriegt, nur sieht der lösungsweg nicht sehr ableitungsmäßig aus(was ja wichtig ist).
1.Ansatz:
tan (x) = sin (x)/cos (x)
Quotientenregel:
f'(x) = cos (x)*cos (x) - sin (x)*(-sin (x))/cos² (x)
wenn ich das jetzt ausrechne, komme ich auf:
f'(x) = cox² (x) + sin² (x)/cos² (x)!!!
Beim nächsten Schritt würde sich dann Cos² (x) rauskürzen, das kann ja aber nicht sein, da die Ableitung von tan (x) = 1/cos² (x) ist (hab ich aus der Formelsammlung).
2.Ansatz:
1/tan (x) = cos (x)/sin (x)
Dann wieder über die Quotientenregel:
f'(x) = (-sin (x))*sin (x) - cos (x)*cos (x)/sin² (x) = (-sin² (x)) - cos² (x)/sin² (x)
Nachdem ich sin² (x) rausgekürzt habe siehts so aus:
f'(x) = cos² (x)
Dann:
(ich weiß nicht, ob man diesen Schritt so machen kann, sieht zumindest nicht "ableitungsmäßig" aus)
1/tan' (x) = cox² (x) | *tan' (x)
1 = cos² (x)*tan' (x) | /cos² (x)
1/cos² (x) = tan' (x)
Das Endergebnis:
tan' (x) = 1/cos² (x)
Ihr seht:
Das Ergebnis sieht nicht so aus, wie sichs ein Mathelehrer wünscht.
Daher bitte ich im eure Hilfe!
Kann mir jemand eine ausführliche Ableitung von tangens zeigen?
Mein Mathelehrer wirds euch danken!
Danke schon im voraus!
waldie
ps:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
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> Schönen Abend erstmal,
Ebenso!
> und zwar brauche ich bis montag unbedingt eine ausführliche
> Ableitung vom tangens.
> Ich hab die ableitung eigentlich schon hingekriegt, nur
> sieht der lösungsweg nicht sehr ableitungsmäßig aus(was ja
> wichtig ist).
>
> 1.Ansatz:
>
> tan (x) = sin (x)/cos (x)
> Quotientenregel:
> f'(x) = cos (x)*cos (x) - sin (x)*(-sin (x))/cos² (x)
> wenn ich das jetzt ausrechne, komme ich auf:
> f'(x) = cox² (x) + sin² (x)/cos² (x)!!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit gut, aber schreibe besser (mit Formeleditor):
[mm]f'(x)=\frac{cos^2 x+sin^2 x}{cos^2 x}[/mm]
> Beim nächsten Schritt würde sich dann Cos² (x) rauskürzen,
> das kann ja aber nicht sein, da die Ableitung von tan (x) =
> 1/cos² (x) ist (hab ich aus der Formelsammlung).
Hmmm... wenn Du cos² rauskürzt, steht da ja:
[mm]f'(x)=1+\frac{sin^2 x}{cos^2 x}=1+tan^2 x[/mm]
Andererseits kannst Du aber den Zähler auch nach trigonometrischen Pythagoras zusammenfassen, denn danach ist ja sin²+cos²=1
(das machst Du dir, wenn Du es nicht schon weißt, am besten am Einheitskreis klar), dann hast Du genau das, was in der Formelsammlung steht:
[mm]f'(x)=\frac{cos^2 x+sin^2 x}{cos^2 x}=\frac{1}{cos^2 x}[/mm]
(natürlich läßt sich das ganze auch umgedreht praktizieren, damit ist natürlich auch 1+tan²x ein richtiges Ergebnis und sollte eigentlich auch in der Formelsammlung stehen)
Damit hast Du eigentlich schon eine wunderschöne Kompettlösung, an der kein Mathelehrer, den noch ganz bei Trost ist, was zu bemängeln hätte 
> 2.Ansatz:
>
> 1/tan (x) = cos (x)/sin (x)
> Dann wieder über die Quotientenregel:
> f'(x) = (-sin (x))*sin (x) - cos (x)*cos (x)/sin² (x) =
> (-sin² (x)) - cos² (x)/sin² (x)
> Nachdem ich sin² (x) rausgekürzt habe siehts so aus:
> f'(x) = cos² (x)
>
> Dann:
> (ich weiß nicht, ob man diesen Schritt so machen kann,
> sieht zumindest nicht "ableitungsmäßig" aus)
> 1/tan' (x) = cox² (x) | *tan' (x)
> 1 = cos² (x)*tan' (x) | /cos² (x)
> 1/cos² (x) = tan' (x)
>
> Das Endergebnis:
> tan' (x) = 1/cos² (x)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist Zufall, daß das so klappt!
> Ihr seht:
> Das Ergebnis sieht nicht so aus, wie sichs ein Mathelehrer
> wünscht.
> Daher bitte ich im eure Hilfe!
Naja, Du warst der Lösung, alles in allem gesehen, doch schon recht nahe, nur Mut, ist doch ziemlich ok, was Du machst!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Sa 05.03.2005 | | Autor: | moozika |
Danke für die ultraschnelle Antwort!!!
Mein Fehler war der, dass ich vergaß, jeden summanden im zähler mit dem nenner zu kürzen.
> Soweit gut, aber schreibe besser (mit Formeleditor):
>$ [mm] f'(x)=\frac{cos^2 x+sin^2 x}{cos^2 x} [/mm] $
>
>> Beim nächsten Schritt würde sich dann Cos² (x) rauskürzen,
>> das kann ja aber nicht sein, da die Ableitung von tan (x) =
>> 1/cos² (x) ist (hab ich aus der Formelsammlung).
>
>Hmmm... wenn Du cos² rauskürzt, steht da ja:
>$ [mm] f'(x)=1+\frac{sin^2 x}{cos^2 x}=1+tan^2 [/mm] x $
Damit ist die Frage eigentlich geklärt und mein Mathelehre wird (MUSS!!!) zufrieden sein.
Danke nochmals
bis denne
waldie
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