Ableitung dieser wurzelfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hi,
ich hatte vor ein paar tagen eine wichtige Matheklausur an der FH zu absolvieren, und es wurde von uns verlangt folgende zwei wurzelfunktionen abzuleiten:
wurzel(x*wurzel(x*wurzel(x)))
und
wurzel(x+wurzel(x+wurzel(x)))
wäre cool, wenn mir jemand diese Funktion ableiten könte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi rohdiamant.
Versuche doch mal, den ersten Wurzelausdruck über die Potenzregeln zu vereinfachen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 23.07.2004 | | Autor: | rohdiamant |
Hi m00xi,
dann müsste die vereinfachung, da die wurzeln ineinander verschachtelt sind im endeffeckt so aussehen:
[mm] (x*(x*(c)^1/2)^1/2^)^1/2
[/mm]
oder bin ich damit schon auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Rohdiamant.
Du kannst ja aus jedem [mm]x[/mm] ein [mm]\sqrt{x^2}[/mm] machen. Dann kannst du die beiden Wurzeln miteinander multiplizieren. So erhältst du:
[mm]\sqrt{x\cdot\sqrt{x\cdot\sqrt{x}}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x}}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x^4}}\cdot\sqrt{\sqrt{x^3}}}[/mm]
[mm]=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x^7}}}[/mm]
[mm]=x^{\frac{7}{8}}[/mm]
Jetzt verständlich?
Gruß,
Hanno
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Hi hanno,
ich verstehe schon, dass die umwandlung in [mm] wurzel(x^2) [/mm] sinnvoll ist, wads ist allerdings mit der letzten wurzel, müsste die denn dann nicht auch umgewandelt werden?
Und was ist an meinem ansatz falsch, denn ich dachte ich kann wurzel(x) auch als [mm] x^1/2 [/mm] darstellen und damit hatte ich das ja dreimal, allerdings eben durch diese verschachtelung unbedingt durch klammern getrennt darzustellen.
gruß manu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi rohdiamant.
Dein Ansatz ist nicht falsch, du schreibst es nur anders. Du benutzt Exponentenschreibweise, ich male fröhlich Wurzelzeichen. Kommt aber auf das Gleiche hinaus.
Gruß,
Hanno
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hier noch einmal das ganze in mathematischer schreibweise:
ausgangsfunktion:
[mm] \wurzel{x*\wurzel{x*\wurzel{x}}} [/mm]
vereinfacht:
[mm] (x*(x*(x)^{1/2})^{1/2})^{1/2}[/mm]
editiert von Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das stimmt, so geht es auch:
[mm](x*(x*(x)^{1/2})^{1/2})^{1/2}[/mm]
[mm]= (x * (x^{3/2})^{1/2})^{1/2}[/mm]
[mm]= (x * x^{3/4})^{1/2}[/mm]
[mm]= (x^{7/4})^{1/2}[/mm]
[mm]= x^{7/8}[/mm].
Was bekommst du also als Ableitung?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Fr 23.07.2004 | | Autor: | rohdiamant |
dann müsste ich also 7/8x^-1/8 erhalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 Fr 23.07.2004 | | Autor: | rohdiamant |
Natürlich, weiß ich auch anzuwenden.
Nachdem ich jetzt allerdings weiß, dass meine darstellung der Funktion nich falsch war, müssen wir die zweite nicht unbedingt noch durchkauen, denn diese habe ich dann ebenfalls richtig gelöst. Wir können diese Funktion aber gerne auch an dieser stell morgen noch fertig behandeln, denn ich habe gerade gemerkt, dass mein zeitbudget am ende ist
vielen Dank für die Hilfe.
gruß manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Manuel,
aber die Aufgabe mit den Summen ist doch viel schwieriger. (?)
Willst du uns denn nicht wenigstens die Ableitung zur Kontrolle hinschreiben?
Liebe Grüße
Stefan
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Alles klar,
also ich hatte folgende vorgehensweise:
Kettenregel heißt ja: es gibt eine Aüßere und eine Innere Funktion.
angewendet also Abl. aüßere(Innere)*Abl. Innere
Äußere:wurzel(x) Abl: [mm]1/2*wurzel(x)
Innere:wurzel(x+wurzel(x))
damit kommt ein weiteres mal die kettenregel zum einsatz:
Äußere: wurzel(x) Abl. [mm]1/2*wurzel(x)[mm]
Innere: wurzel(x) Abl. [mm]1/2*wurzel(x)[mm]
also zusammengesetzt:
die zweite anwendung der kettenregel ergibt somt: [mm] 1/2*wurzel(x+wurzel(x))*1/2*wurzel(x)
somit habe ich das ergebnis für die innere Ableitung der ersten Anwebdung:
Zusammengesetzt: [mm] 1/2*wurzel(x+wurzel(x+wurzel(x)))*1/2*wurzel(x+wurzel(x))*1/2*wurzel(x)
Müsste stimmen oder habe ich mich bei den aüßeren und inneren funktionen vertan.
gruß manuel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Fr 23.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Rohdiamant!
Da muss ich dich leider enttäuschen, denn deine Lösung war nicht richtig.
Richtig geht es so:
Wir haben:
$F(x) = [mm] \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$,
[/mm]
also:
$F(x) = f(g(h(x)))$
mit
$h(x) = x + [mm] \sqrt{x}$,
[/mm]
$g(x) = x + [mm] \sqrt{x}$,
[/mm]
$f(x) = [mm] \sqrt{x}$.
[/mm]
Es gilt:
$h'(x) = g'(x) = 1 + [mm] \frac{1}{2\sqrt{x}}$,
[/mm]
$f'(x) = [mm] \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
[/mm]
Nach der Kettenregel gilt nun:
$F'(x)$
$= f'(g(h(x))) [mm] \cdot [/mm] g'(h(x)) [mm] \cdot [/mm] h'(x)$
$= [mm] \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{x}}}\right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)$.
[/mm]
Kann man das weiter ausrechnen und schöner schreiben? Vielleicht.
Will man das weiter ausrechnen? Nein. 
Liebe Grüße
Stefan
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