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Ableitung einer Funktion: e-Funktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Mi 03.05.2006
Autor: Daniak

Aufgabe
Bilden Sie die ersten 2 Ableitungen von f(x)=e^-x  -e^-2x

Wie bilde ich ableitungen von einer e-Funktion wenn der Exponent z.B. aus [mm] e^{2x-x^2} [/mm] besteht?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Ableitung einer Funktion: Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Mi 03.05.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Daniak,

[willkommenmr] !!


Die allgemeine Ableitung der "Standard-e-Funktion" ist ja wieder die e-Funktion selber:

[mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm]


Wenn nun im Exponenten etwas anderes steht als nur das $x_$, müssen wir die MBKettenregel anwenden, indem wir noch mit der inneren Ableitung multiplizieren:

[mm] $\left( \ e^{\blue{2x-x^2}} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{2x-x^2}*\underbrace{\left( \ \blue{2x-x^2} \ \right)'}_{\text{= innere Abl.}} [/mm] \ = \ [mm] e^{2x-x^2}*\left(2-2x\right)$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Ableitung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mi 03.05.2006
Autor: Daniak


> Hallo Daniak,

>  
>
> Die allgemeine Ableitung der "Standard-e-Funktion" ist ja
> wieder die e-Funktion selber:
>  
> [mm]\left( \ e^x \ \right)' \ = \ e^x[/mm]
>  
>
> Wenn nun im Exponenten etwas anderes steht als nur das [mm]x_[/mm],
> müssen wir die MBKettenregel anwenden, indem wir noch mit
> der inneren Ableitung multiplizieren:
>  
> [mm]\left( \ e^{\blue{2x-x^2}} \ \right)' \ = \ e^{2x-x^2}*\underbrace{\left( \ \blue{2x-x^2} \ \right)'}_{\text{= innere Abl.}} \ = \ e^{2x-x^2}*\left(2-2x\right)[/mm]
>  
>
> Gruß vom
>  Roadrunner
>  

Hallo Roadrunner, danke erstmal für die schnelle antwort.
Aber was ist mit e^-x??? bleibt das e^-x?>

Bezug
                        
Bezug
Ableitung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Mi 03.05.2006
Autor: TanjaH

Hallo Daniel,


>  Aber was ist mit e^-x??? bleibt das e^-x?>

in Wirklichkeit steht da: [mm] e^{\red{(-1)}*x} [/mm]

daher ist [mm] (e^{-x})'=\red{(-1)}*e^{-x}=-e^{-x} [/mm]


Gruß
Tanja

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Bezug
Ableitung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Mi 03.05.2006
Autor: Daniak

thx Tanja.....jetzt nur noch eine letzte frage. Ich soll zu dieser Funktion die Extrema finden, d.h. ich muss ja f'(x)=0 setzen.

f(x)= e^(-x) - e^(-2x)

=> f'(x)= -e^(-x) + 2*e^(-2x)

wie kann ich diese Ableitung denn = 0 stzen und nach x auflösen?

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Mi 03.05.2006
Autor: TanjaH

Hallo


> thx Tanja.....jetzt nur noch eine letzte frage. Ich soll zu
> dieser Funktion die Extrema finden, d.h. ich muss ja
> f'(x)=0 setzen.
>  
> f(x)= e^(-x) - e^(-2x)
>
> => f'(x)= -e^(-x) + 2*e^(-2x)
>  
> wie kann ich diese Ableitung denn = 0 stzen und nach x
> auflösen?

Du weißt doch sicher, dass [mm] e^{ln}=1 [/mm] ist, oder?

Dann muss wohl x=ln2 dein Problem lösen.


Gruß
Tanja

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Mi 03.05.2006
Autor: Daniak

und wie würde das bei meiner funktion aussehen? stehe gerade echt ein wenig auf dem Schlauch bzw. bin überfordert :-(

(is ja auch schon lange her der ganze kram)

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 Mi 03.05.2006
Autor: TanjaH

Hi,

du setzt einfach für x das ln 2 ein.

[mm] -e^{-x}+2*e^{-2*x}=-e^{-ln2}+2*e^{-2*ln2}=-0,5+0,5=\blue{0} [/mm]

damit ist [mm] x=ln2\approx0,69314718.... [/mm]

.... und eine Nullstelle!


so besser?


Gruß
Tanja

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Mi 03.05.2006
Autor: Daniak

mhhh...welche größe hat denn ln 2?...damit ich es auch für spätere aufgaben weiß?...z.b. e^-5x*2x

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung einer Funktion: Taschenrechner
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Mi 03.05.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Daniak!


Den Wert [mm] $\ln(2) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.693$ hat Dir Tanja oben doch bereits verraten.

Zudem kannst Du das auch schnell mit dem Taschenrechner ausrechnen.


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Ableitung einer Funktion: Alternativweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Mi 03.05.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Daniak!


Alternativ kannst Du auch die Gleichung [mm] $-e^{-x} [/mm] + [mm] 2*e^{-2x} [/mm] \ = \ 0$ mit [mm] $e^{2x}$ [/mm] multiplizieren und anschließend umstellen:

[mm] $-e^{+x} [/mm] + 2*1 \ = \ 0$

[mm] $e^x [/mm] \ = \ 2$


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
Ableitung einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Mi 03.05.2006
Autor: Daniak

danke euch :-)

Bezug
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