Ableitung einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 04.05.2006 | | Autor: | nali |
| Aufgabe | Diese Aufgabe habe ich aus einem Buch abgeschrieben.
leiten sie die Funktion [mm] f(x)=x^{-2} [/mm] nach x ab |
Bitte auf korrekte Schreibweise prüfen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{(x_{0}+\Delta{x} )^{-2}-x_{0}^{-2}}{\Delta{x} } [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{ \bruch{1}{(x_{0}+\Delta{x} )^{2}}- \bruch{1}{x_{0}^{2}}}{\Delta{x} } [/mm]
Wie komme ich auf die unten stehende Gleichung?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{x_{0}^2-(x_{0}+\Delta{x})^2}{\Delta{x}*x_{0}^2*(x_{0}+\Delta{x})^2} [/mm]
Kann mir jemand diesen Schritt erklären? Bitte ausführlich. Ich könnte mir denken das es was mit der Mulitiplikation von Brüchen und dem Kehrwert zu tun hat aber warum wird der Term vertauscht? => aus [mm] -x^2 [/mm] plötzlich [mm] x^2 [/mm] <=
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Hallo!
> Diese Aufgabe habe ich aus einem Buch abgeschrieben.
> leiten sie die Funktion [mm]f(x)=x^{-2}[/mm] nach x ab
> Bitte auf korrekte Schreibweise prüfen.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{(x_{0}+\Delta{x} )^{-2}-x_{0}^{-2}}{\Delta{x} }[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{ \bruch{1}{(x_{0}+\Delta{x} )^{2}}- \bruch{1}{x_{0}^{2}}}{\Delta{x} }[/mm]
>
> Wie komme ich auf die unten stehende Gleichung?
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0 } \bruch{x_{0}^2-(x_{0}+\Delta{x})^2}{\Delta{x}*x_{0}^2*(x_{0}+\Delta{x})^2}[/mm]
> Kann mir jemand diesen Schritt erklären? Bitte ausführlich.
> Ich könnte mir denken das es was mit der Mulitiplikation
> von Brüchen und dem Kehrwert zu tun hat aber warum wird der
> Term vertauscht? => aus [mm]-x^2[/mm] plötzlich [mm]x^2[/mm] <=
Das ist eigentlich nur simples Bruchrechnen.  Wir haben doch im Zähler stehen:
[mm] \bruch{1}{(x_{0}+\Delta{x} )^{2}}- \bruch{1}{x_{0}^{2}}
[/mm]
das erweitern wir so, dass wir beide Brüche addieren (bzw. subtrahieren) können, also den linken Bruch erweitern wir mit [mm] x_0^2 [/mm] und den rechten mit [mm] (x_0+\Delta{x})^2, [/mm] dann erhalten wir:
[mm] \bruch{x_0^2}{x_0^2(x_0+\Delta{x})^2}-\bruch{(x_0+\Delta{x})^2}{x_0^2(x_0+\Delta{x})^2}
[/mm]
Das können wir nun auf einen Bruchstrich schreiben:
[mm] \bruch{x_0^2-(x_0+\Delta{x})^2}{x_0^2(x_0+\Delta{x})^2}
[/mm]
Und wenn wir nun noch den Nenner von oben hinzunehmen, erhalten wir:
[mm] \bruch{\bruch{x_0^2-(x_0+\Delta{x})^2}{x_0^2(x_0+\Delta{x})^2}}{\Delta{x}}
[/mm]
und das ist nach den Bruchrechenregeln das Gleiche wie:
[mm] \bruch{x_0^2-(x_0+\Delta{x})^2}{x_0^2(x_0+\Delta{x})^2}*\bruch{1}{\Delta{x}}
[/mm]
also gleich:
[mm] \bruch{x_{0}^2-(x_{0}+\Delta{x})^2}{\Delta{x}*x_{0}^2*(x_{0}+\Delta{x})^2}
[/mm]
Alles klar nun?
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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