Ableitung einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 12.12.2006 | | Autor: | phm |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$.
[/mm]
[mm] f : x \mapsto \begin{cases} x^{2} * cos( \bruch{1}{x} ), & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm]
Zeigen Sie, dass $f'$ auch im Nullpunkt definiert ist, aber dort nicht stetig ist. |
Hallo zusammen,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe enthielt zudem noch einen Hinweis, man solle den Differenzenquotienten verwenden.
Bisher hab ich nur versucht, die Diff'barkeit im Nullpkt. zu zeigen:
[mm]f'(0) = \limes_{h\rightarrow 0} \left( \bruch{f(0+h)}{h} - \bruch{f(0)}{h} \right) = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h)}{h} - 0 \right) = \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h^2*\cos(\bruch{1}{h})}{h}
[/mm]
So, nun weiß ich, [mm] $h^2$ [/mm] geht gegen 0, [mm] $\bruch{1}{h}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$. [/mm] Problem: Gegen was strebt dann der Cosinus??
Bin ich die Aufgabe falsch angegangen oder wie lässt sich das lösen?
Dann habe ich noch eine weitere Frage: Ist es möglich, dass die Ableitung der obigen Funktion [mm] $x^{2} [/mm] * cos [mm] \left( \bruch{1}{x} \right)$ [/mm] an der Stelle 0 definiert ist? Mein Taschenrechner sagt ja, aber wenn ich mir die Ableitung als Steigung in einem Punkt vorstelle, kann ich mir nicht erklären, was die Steigung von undefiniert ist...
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Hi, phm,
da die Funktion [mm] y=cos(\bruch{1}{x}) [/mm] beschränkt ist (liegt zwischen -1 und +1), geht [mm] x^{2}* cos(\bruch{1}{x}) [/mm] für [mm] x\to [/mm] 0 gegen 0. Demnach ist die gegebene Funktion bei x=0 (und natürlich auch sonst) stetig.
Nun zur Ableitung:
f'(x) = [mm] 2x*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] x^{2}*sin(\bruch{1}{x})*\bruch{1}{x^{2}} [/mm] = [mm] 2x*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] (für x [mm] \not=0)
[/mm]
Für x=0 arbeiten wir mit dem Differenzenquotienten:
f'(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{h^{2}*cos(\bruch{1}{h}) - 0}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} h*cos(\bruch{1}{h}) [/mm] = 0 (Begründung analog zu oben: Stetigkeit von f).
D.h. die Ableitung f' existiert überall.
Aber ist sie auch stetig für x=0?
Da arbeiten wir ganz trickreich mit der Folge
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(4n+1)*\pi}
[/mm]
Wir bilden [mm] f'(x_{n}) [/mm] und erhalten:
[mm] f'(x_{n}) [/mm] = [mm] 2*x_{n}*cos((4n+1)*\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] sin((4n+1)*\bruch{\pi}{2}) [/mm] = 1.
Wir haben also eine Teilfolge gefunden, die konstant=1 ist und daher auch für n [mm] \to \infty [/mm] (also für [mm] x_{n} \to [/mm] 0) gegen 1 konvergiert.
Andererseits war ja f'(0) = 0 (also NICHT =1 !).
Demnach kann f' nicht stetig sein an der Stelle x=0.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Di 12.12.2006 | | Autor: | phm |
Hallo Zwerglein,
zunächst einmal vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe!
Deine Argumentation bez. der Ableitung kann ich gut nachvollziehen.
Den Stetigkeistbeweis glaube ich (zumindest vom Prinzip her) verstanden zu haben: du zeigst ja [mm] $\limes_{x_{n}\rightarrow 0} f'(x_{n}) \not= [/mm] f'(0)$, richtig?
Allerdings habe ich Probleme zu sehen, dass
[mm] $\limes_{x_{n}\rightarrow 0} f'(x_{n}) [/mm] = 1$ ist. Ich frage mich auch wie du auf die Folge [mm] $x_n$ [/mm] gekommen bist. Erfahrung?
Viele Grüße
phm
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Hi, phm,
> zunächst einmal vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe!
>
> Deine Argumentation bez. der Ableitung kann ich gut
> nachvollziehen.
>
> Den Stetigkeistbeweis glaube ich (zumindest vom Prinzip
> her) verstanden zu haben: du zeigst ja
> [mm]\limes_{x_{n}\rightarrow 0} f'(x_{n}) \not= f'(0)[/mm],
> richtig?
Wobei das nur deshalb sinnvoll ist, weil es "den" Grenzwert [mm] \limes_{x \rightarrow 0} [/mm] f'(x) nicht gibt: Es liegt Divergenz vor.
Aber das "allgemein" zu beweisen ist nicht ganz leicht.
Daher verwendet man eine "geschickt gewählte Teilfolge" [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n} \to [/mm] 0, so, dass für die Funktionswerte von f' auf jeden Fall NICHT f'(0) rauskommt.
> Allerdings habe ich Probleme zu sehen, dass
> [mm]\limes_{x_{n}\rightarrow 0} f'(x_{n}) = 1[/mm] ist.
Die Werte der Ableitung sind ja sogar konstant gleich 1,
denn der Cosinus von ungeraden Vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist immer =0 und der Sinus immer +1 oder -1. Nun habe ich gerade diejenigen genommen, für die der Sinus +1 ist, um ein "schönes" Ergebnis zu kriegen.
> Ich frage mich auch wie du auf die Folge [mm]x_n[/mm] gekommen bist.
> Erfahrung?
Naja: Auf sowas kommt man wirklich nur dann, wenn man schon mal ein ähnliches Beispiel gelöst hat. Und Deine Funktion ist (zusammen mit der analogen, wo anstelle des cos der sin verwendet wird) sicher das am häufigsten verwendete Beispiel einer zwar überall differenzierbaren, aber NICHT überall STETIG DIFFERENZIERBAREN Funktion.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Mi 13.12.2006 | | Autor: | phm |
alles klar, danke dir nochmal.
Gruß phm
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