Ableitung einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 11.04.2007 | | Autor: | abiag |
| Aufgabe | | Diskutieren und skizzieren Sie die Funktion f(x) = x² [mm] \times e^{\bruch{1}{x}} [/mm] |
Hallo liebes Matheforum!
Ich habe Probleme mit der Ableitung.
Richtig, dass ich für die komplette Funktion die Produktregel und für [mm] {\bruch{1}{x}} [/mm] die Quotientenregel anwenden muss?
Wenn ich das so rechne kommt nach meiner Berechnung f'(x) = [mm] e^{\bruch{1}{x}}x(2+x) [/mm] heraus. Das ist aber falsch. Könnt ihr mir bitte helfen? Mit der 2. Ableitung komme ich dann logischerweise auch nicht weiter.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
soweit völlig richtig, dass du die Produktregel anwenden sollst.
Es gilt ja
(u*v)'=u'v+v'u
f(x) = [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
In diesem Fall kannst du dann also [mm] u=x^2 [/mm] und [mm] v=e^{\bruch{1}{x}} [/mm] wählen.
u'=2x
Die Ableitung der e-Funktion ist ja zunächst einmal die Funktion selbst mal die innere Ableitung:
[mm] v'=e^{\bruch{1}{x}}* (\bruch{1}{x})'
[/mm]
Die Ableitung von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] kannst du dir entweder merken, oder selbst herleiten, indem du den Bruch als [mm] x^{-1} [/mm] umschreibst, und diesen dann genauso ableitest, wie z.B. [mm] x^2.
[/mm]
Viele Grüße,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Mi 11.04.2007 | | Autor: | abiag |
Super. Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 11.04.2007 | | Autor: | abiag |
Ok, ich habe das jetzt so gerechnet. Dennoch komme ich nicht auf das Ergebnis. Laut meinem Lösungsblatt soll die 1. Ableitung nämlich
[mm] f'(x)=(2x-1)e^{\bruch{1}{x}} [/mm] sein.
Nach meiner Berechnung kommt aber
[mm] f'(x)=(2-x)xe^{\bruch{1}{x}} [/mm]
raus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Abiag,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schade, dass du deine Rechnung nicht angegeben hast. Sonst könnte ich sehen, wo dein Fehler ist.
Ich gebe dir hier den ersten Rechenschritt an:
$ f'/x)=2x [mm] \cdot e^{\bruch{1}{x}} [/mm] + [mm] x^2 \cdot [/mm] (- [mm] \bruch{1}{x^2}) \cdot e^{\bruch{1}{x}} [/mm] $
Wenn du diesen Term jetzt vereinfachst, kommst du auf die angegebene Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 11.04.2007 | | Autor: | abiag |
> Hallo Abiag,
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> Schade, dass du deine Rechnung nicht angegeben hast. Sonst
> könnte ich sehen, wo dein Fehler ist.
>
> Ich gebe dir hier den ersten Rechenschritt an:
>
> [mm]f'/x)=2x \cdot e^{\bruch{1}{x}} + x^2 \cdot (- \bruch{1}{x^2}) \cdot e^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> Wenn du diesen Term jetzt vereinfachst, kommst du auf die
> angegebene Lösung.
Danke! Mein Fehler liegt in der Ableitung von [mm] e^{\bruch{1}{x}}. [/mm] Ich dachte die Ableitung wäre [mm] -e^{\bruch{1}{x}}. [/mm] Kann mir jemand sagen wie ich auf die Ableitung (- [mm] \bruch{1}{x^2}) [/mm] komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 11.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo abiag!
Du musst ja noch die innere Ableitung gemäß  Kettenregel berücksichtigen.
Und da gilt ja: [mm] $\left(\bruch{1}{x}\right)' [/mm] \ = \ [mm] \left( \ x^{-1} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] -1*x^{-2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{x^2}$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Do 12.04.2007 | | Autor: | abiag |
Die 1. Ableitung ist mir jetzt klar. Danke!
Aber nun quäle ich mich mit der 2. Ableitung
u =(2x-1) und für u' = 2
v = [mm] e^\bruch{1}{x} [/mm] und für v' = [mm] -\bruch{1}{x²}e^\bruch{1}{x}
[/mm]
f''(x) = [mm] 2e^\bruch{1}{x} [/mm] + [mm] (2x-1)-\bruch{1}{x²}e^\bruch{1}{x}
[/mm]
Die Lösung muss lauten
f''(x) = [mm] \bruch{2x²-2x+1}{x²} e^\bruch{1}{x}
[/mm]
Wie komme ich auf das 2x²?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Do 12.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
> Die 1. Ableitung ist mir jetzt klar. Danke!
> Aber nun quäle ich mich mit der 2. Ableitung
>
> u =(2x-1) und für u' = 2
> v = [mm]e^\bruch{1}{x}[/mm] und für v' =
> [mm]-\bruch{1}{x²}e^\bruch{1}{x}[/mm]
>
> f''(x) = [mm] 2e^\bruch{1}{x} [/mm] +
> [mm](2x-1)-\bruch{1}{x²}e^\bruch{1}{x}[/mm]
f''(x) = [mm] 2e^\bruch{1}{x} [/mm] + (2x-1)*( [mm] -\bruch{1}{x²})e^\bruch{1}{x}
[/mm]
= [mm] e^\bruch{1}{x}(2 [/mm] + [mm] (2x-1)*(-\bruch{1}{x²})) [/mm] =
[mm] e^\bruch{1}{x}(2 [/mm] - [mm] \bruch{2}{x}+ \bruch{1}{x²})=[/mm] [mm]\bruch{2x²-2x+1}{x²} e^\bruch{1}{x}[/mm]
Alles klar?
> Die Lösung muss lauten
>
> f''(x) = [mm]\bruch{2x²-2x+1}{x²} e^\bruch{1}{x}[/mm]
>
>
> Wie komme ich auf das 2x²?
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