Ableitung ln < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Ausgehende von der Formel [mm] (f^{-1})'(y)=1/f'(x)|_{x=f^{-1}(y)} [/mm] bestimme:
[mm] \frac{d\mbox{ln}|x|}{dx}.
[/mm]
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Hallo,
Der Betrag ist nicht diffbar, also betrachte ich x>0 und x<0.
für positive x ist das klar, dann hab ich mit exp die Umkehfunktion.
Aber wie mache ich es für x<0? Da kann ich ja nicht mit exp als Umkehrfunktion arbeiten.
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Hallo Unk,
> Ausgehende von der Formel
> [mm](f^{-1})'(y)=1/f'(x)|_{x=f^{-1}(y)}[/mm] bestimme:
> [mm]\frac{d\mbox{ln}|x|}{dx}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> Der Betrag ist nicht diffbar, also betrachte ich x>0 und
> x<0.
>
> für positive x ist das klar, dann hab ich mit exp die
> Umkehfunktion.
>
> Aber wie mache ich es für x<0? Da kann ich ja nicht mit
> exp als Umkehrfunktion arbeiten.
Nein, aber ist nicht wegen
[mm] $\ln(-x) [/mm] = y [mm] \gdw [/mm] -x = [mm] e^{y} \gdw [/mm] x = [mm] -e^{y}$
[/mm]
einfach [mm] $-\exp(x)$ [/mm] deine gesuchte Umkehrfunktion zu [mm] $\ln(-x)$ [/mm] ?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
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> > Ausgehende von der Formel
> > [mm](f^{-1})'(y)=1/f'(x)|_{x=f^{-1}(y)}[/mm] bestimme:
> > [mm]\frac{d\mbox{ln}|x|}{dx}.[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > Der Betrag ist nicht diffbar, also betrachte ich x>0 und
> > x<0.
> >
> > für positive x ist das klar, dann hab ich mit exp die
> > Umkehfunktion.
> >
> > Aber wie mache ich es für x<0? Da kann ich ja nicht mit
> > exp als Umkehrfunktion arbeiten.
>
> Nein, aber ist nicht wegen
>
> [mm]\ln(-x) = y \gdw -x = e^{y} \gdw x = -e^{y}[/mm]
Aber die Umkehrfunktion von ln(-x) ist doch nicht exp.
Warum soll dann gelten: [mm]\ln(-x) = y \Rightarrow -x = e^{y} [/mm]
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> einfach [mm]-\exp(x)[/mm] deine gesuchte Umkehrfunktion zu [mm]\ln(-x)[/mm] ?
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Unk,
> Aber die Umkehrfunktion von ln(-x) ist doch nicht exp.
> Warum soll dann gelten: [mm]\ln(-x) = y \Rightarrow -x = e^{y}[/mm]
Du hast recht, die Umkehrfunktion von [mm] \ln(-x) [/mm] ist nicht [mm] \exp(x). [/mm] Aber wir wissen, dass die Umkehrfunktion von [mm] \ln(...) [/mm] die Funktion [mm] \exp [/mm] ist.
Also kann ich, um die Gleichung
[mm] $\ln(-x) [/mm] = y$
umzuformen, auf beiden Seiten [mm] \exp [/mm] anwenden. Das ist eine Äquivalenzumformung. Und da links als äußerste Funktion [mm] \ln(...) [/mm] steht, hebt sich [mm] \exp [/mm] mit [mm] \ln [/mm] auf, dafür ist völlig egal, was in der Funktion [mm] \ln [/mm] steht.
Grüße,
Stefan
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