Ableitung mit Hilfe d. Umkehrf < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 So 03.02.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | | Wie lautet die Ableitung von arcsin: (-1,1) [mm] \to (-\pi/2, \pi/2)? [/mm] |
Hallo!
Also wir sollen das denke ich nach folgender Formel machen:
[mm] (f^{-1})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f' \circ f^{-1}}
[/mm]
Also wenn ich mir definiere f(x):=arcsin(x) und g(x):=sin(x)
dann müsste doch lauten:
f(x)' = [mm] \bruch{1}{cos(arcsin(x))}
[/mm]
So wie forme ich jetzt den Nenner um?
In einer Lösung geht es so, was ich aber gegen Ende nicht ganz nachvollziehen kann:
f(x):=arcsin(x)
g(y):=sin(y)
f(x)' = [mm] \bruch{1}{g'(y)}=\bruch{1}{cos(y)} [/mm] mit y=f(x) (ok bis hierhin alles klar).
Dann: d.h. g(y) = x
Für y [mm] \in (-\pi/2,\pi/2) [/mm] gilt cos(y)>0 also
[mm] f(x)=\bruch{1}{\sqrt{1-sin^2(y)}}=\bruch{1}{\sqrt{1-x^2}}
[/mm]
Dabei versteh ich die letzten Schritte nicht... :(
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Hi, Wimme,
> Wie lautet die Ableitung von arcsin: (-1,1) [mm]\to (-\pi/2, \pi/2)?[/mm]
> Also wir sollen das denke ich nach folgender Formel machen:
>
> [mm](f^{-1})'[/mm] = [mm]\bruch{1}{f' \circ f^{-1}}[/mm]
>
> Also wenn ich mir definiere f(x):=arcsin(x) und
> g(x):=sin(x)
>
> dann müsste doch lauten:
> f(x)' = [mm]\bruch{1}{cos(arcsin(x))}[/mm]
>
> So wie forme ich jetzt den Nenner um?
>
> In einer Lösung geht es so, was ich aber gegen Ende nicht
> ganz nachvollziehen kann:
> f(x):=arcsin(x)
> g(y):=sin(y)
>
> f(x)' = [mm]\bruch{1}{g'(y)}=\bruch{1}{cos(y)}[/mm] mit y=f(x) (ok
> bis hierhin alles klar).
> Dann: d.h. g(y) = x
> Für y [mm]\in (-\pi/2,\pi/2)[/mm] gilt cos(y)>0 also
> [mm]f(x)=\bruch{1}{\sqrt{1-sin^2(y)}}=\bruch{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>
Im Prinzip ist dabei Zweierlei wichtig:
(1) Setzt man in eine Funktion ihre Umkehrfunktion ein, ist das Ergebnis die Identität (y=x)
Beispiel: f(x) = [mm] x^{2}; [/mm] g(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] (mit x [mm] \ge [/mm] 0)
f(g(x))=x und auch: g(f(x)) = x.
Hier nun: f(x) = sin(x); g(x) = arcsin(x); f(g(x)) = sin(arcsin(x)) = x.
(2) Die altbekannte goniometrische Formel:
[mm] (cos(x))^{2} [/mm] + [mm] (sin(x))^{2} [/mm] = 1
Was Du (unter den gegebenen Bedingungen) nach cos(x) auflösen kannst:
cos(x) = [mm] \wurzel{1 - (sin(x))^{2}}
[/mm]
In Deinem Fall wird an die Stelle von x der Term arcsin(x) gesetzt, daher:
cos(arcsin(x)) = [mm] \wurzel{1 - (sin(arcsin(x)))^{2}}
[/mm]
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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