Ableitung mit Kettenregel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie (mit Hilfe der Kettenregel) die erste Ableitung der Funktion:
g(x) = 7 hoch (3x) |
| Aufgabe 2 | Bestimmten Sie (mit Hilfe der Kettenregel) die erste Ableitung der Funktion:
f(x) = 5. Wurzel aus 5x |
Hallo :)
Gleich vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu den beiden Aufgaben. Ich habe mich bereits seit Stunden mit dem Thema Ableitungen befasst und bin nun nach etlichen Aufgaben auf diese beiden gestoßen (Übungsaufgaben von meinem Prof)
Bei der ersten Aufgabe hab ich etwas raus (25x hoch -4/5) , bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.
Bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll... die 5. Wurzel iritiert mich etwas.
Ich hoffe mir kann das jemand erklären wie ich vorgehen muss und was die Lösung der Aufgabe ist :)
liebe Grüße
Christina
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Huhu,
eins vorweg: Nutze doch bitte den Formeleditor, um Formeln sauber darzustellen.
Dann liest es sich doch gleich viel schöner.
Du sollst also die Ableitungen der folgenden Funktionen bestimmen:
$g(x) = [mm] 7^{3x}$
[/mm]
$f(x) = [mm] \sqrt[5]{5x}$
[/mm]
Deine Lösungsvorschläge sind falsch, insofern ignorieren wir sie mal 
Zur ersten Funktion:
Mache dir mal klar, dass $g(x) = [mm] 7^{3x}$ [/mm] eine verkettete Funktion der Funktionen [mm] $g_1(x) [/mm] = [mm] 7^x$ [/mm] und [mm] $g_2(x) [/mm] = 3x$ ist, dann gilt $g(x) = [mm] g_1\left(g_2(x)\right)$
[/mm]
Nun sollst du $g'(x)$ berechnen. Was sagt dir die Kettenregel dazu?
Du wirst dafür wohl $g'_1(x)$ und $g'_2(x)$ benötigen.
Als Tip für die Ableitung von $g'_1(x)$: Mach dir klar, dass du [mm] 7^x [/mm] umschreiben kannst zu [mm] $e^{x*\ln(7)}$
[/mm]
Und damit gilt: [mm] $g_1(x) [/mm] = [mm] 7^x [/mm] = [mm] e^{x*\ln(7)}$ [/mm] und ist damit auch wieder eine verkettete Funktion (welcher Funktionen?).
Für die zweite Aufgabe nutze die Identität: [mm] $\sqrt[5]{x} [/mm] = [mm] x^\bruch{1}{5}$ [/mm] und dann einfach nach bekannten Regeln ableiten.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Entschuldigung, ich wusste nicht das es hier einen Formeleditor gibt. Ich versteh noch nicht ganz wie man den anwendet, hoffentlich versteht mans trotzdem.
Also dann hab ich ja die beiden Ausgangsgleichungen:
[mm] e^x^*^l^n^{7}
[/mm]
und die Gleichung
3x
von 3x ist die Ableitung dann 3.
und wenn ich [mm] e^x^*^l^n^{7} [/mm] ableite erhalte ich was genau?
Ich muss diese Gleichung wieder in zwei Teile teilen, also Kettenregel oder? Der eine Teil ist [mm] e^u [/mm] der abgeleitet ja das gleiche ist und der zweite Teil ist [mm]x*ln(7)[mm] und abgeleitet ist das [mm][mm] \bruch{1}{7}[/mm] [mm] ?
Oder ist das komplett falsch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Aaalso wenn ich dann die beiden Ableitungen zusammenfüge habe ich dann erstmal [mm] ln(7)*e^x^*^l^n^{7}
[/mm]
und das ganze muss ich dann mal 3 nehmen wegen der Ableitung vom anderen Teil der Ausgangsgleichung?
Also wäre die Lösung dann: [mm] 3*[ln(7)*e^x^*^l^n^{7}] [/mm] ist die Ableitung von [mm] 7^3^x [/mm] ?
Dann nochmal zu der anderen Aufgabe: [mm] \wurzel[5]{5x} [/mm] ist umgeschrieben \ [mm] 5x^\bruch{1}{5}
[/mm]
die äußere Funktion wäre dann: [mm] u^\bruch{1}{5}
[/mm]
die Ableitung davon dann [mm] \bruch{1}{5}u^\bruch{-4}{5} [/mm] ?
die innere Funktion wäre dann: 5x
Ableitung: 5
ist dann das Ergebnis: \ [mm] 5*(\bruch{1}{5}*5x^\bruch{-4}{5})
[/mm]
also dann \ [mm] 5x^\bruch{-4}{5} [/mm] ?
danke fü die Hilfe! Ich verzweifel hier noch wenn ich das nicht bald verstehe :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Danke für deine Antwort! Da bin ich ja erleichtert das ich doch nicht zu blöd bin dafür....
Könnte ich die Funktion [mm] 3*[ln(7)*7^x] [/mm] auch noch weiter auflösen? Also ich meine das man dann \ 3ln(7)+ [mm] 21^x [/mm] hat? oder geht das nicht?
Zur anderen Aufgabe:
wie sieht denn dann das Ergebnis aus wenn ichs wieder als Wurzel schreibe?
Ist das dann [mm] \wurzel[5]{5x^{-4}} [/mm] ?
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Hallo Stuck,
> Danke für deine Antwort! Da bin ich ja erleichtert das ich
> doch nicht zu blöd bin dafür....
>
> Könnte ich die Funktion [mm]3*[ln(7)*7^x][/mm] auch noch weiter
> auflösen? Also ich meine das man dann \ 3ln(7)+ [mm]21^x[/mm] hat?
> oder geht das nicht?
>
Das geht hier nicht.
> Zur anderen Aufgabe:
> wie sieht denn dann das Ergebnis aus wenn ichs wieder als
> Wurzel schreibe?
>
> Ist das dann [mm]\wurzel[5]{5x^{-4}}[/mm] ?
Nicht ganz:
[mm]\wurzel[5]{\left\blue{(}5x\right\blue{)}^{-4}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Da ich hier anscheinend keine normale Antwort posten kann, ist das wohl ne weitere Frage. Kann man das irgendwo ändern?
Danke für die Hilfe! das hat mir sehr weiter geholfen.
Ich hab noch einige Fragen zur logarithmischen Differentiation aber dafür mach ich lieber einen anderen Thread auf!
Liebe Grüße
Christina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
wenn du keine Frage hast, sondern nur eine Mitteilung, schreibe eine Mitteilung
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Achja, was ist denn das Muster für die Funktionen der Form [mm] a^x [/mm] ?
Aus einer einzigen Aufgabe konnte ich das jetzt noch nicht erschließen....
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> Achja, was ist denn das Muster für die Funktionen der Form
> [mm]a^x[/mm] ?
>
> Aus einer einzigen Aufgabe konnte ich das jetzt noch nicht
> erschließen....
Na dann nutz das doch einfach als Übung.
Es gilt wieder:
[mm] $a^x [/mm] = [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm] (warum eigentlich?)
und nun: Ableiten.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Also die Ableitung für [mm] a^x [/mm] lautet (ln [mm] a)*a^x [/mm] (habs doch im Formelbuch gefunden ;) )
aber ich weiß grad nicht wie ich das auf die Aufgabe anwenden soll. [mm] e^x [/mm] ist ja ein Extrafall. Ich würde spontan erstmal sagen das es [mm] ln(a)*(ln(e)*e^x) [/mm] ist ?!
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> Also die Ableitung für [mm]a^x[/mm] lautet (ln [mm]a)*a^x[/mm] (habs doch im Formelbuch gefunden ;) )
Das solltest du ja gerade herleiten!
> aber ich weiß grad nicht wie ich das auf die Aufgabe
> anwenden soll. [mm]e^x[/mm] ist ja ein Extrafall. Ich würde spontan
> erstmal sagen das es [mm]ln(a)*(ln(e)*e^x)[/mm] ist ?!
Hä? Was hast du jetzt gemacht?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
ich hab versucht die Formel anzuwenden... naja hat wohl nicht ganz geklappt....
Kannst du mir denn erklären wie man dann schnell auf die Lösung kommt? Um mir das in der Klausur auch alles herzuleiten hab ich gar keine zeit und ehrlich gesagt hab ich da jetzt auch keine zeit für weil ich die klausur in ein paar tagen schreibe.
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Hiho,
> ich hab versucht die Formel anzuwenden... naja hat wohl
> nicht ganz geklappt....
welche Formel?
> Kannst du mir denn erklären wie man dann schnell auf die
> Lösung kommt? Um mir das in der Klausur auch alles
> herzuleiten hab ich gar keine zeit und ehrlich gesagt hab
> ich da jetzt auch keine zeit für weil ich die klausur in
> ein paar tagen schreibe.
das geht nicht um "Zeit", sondern um "Verständnis".
Genauso, wie du die Ableitung von [mm] $7^x$ [/mm] in der Aufgabe bilden musstest, kann es in der Klausur vorkommen, dass du die Ableitung von [mm] $a^x$ [/mm] bilden musst.
Und insbesondere ist es nichts anderes, wenn du die Kettenregel verstanden hast. (und das hattest du ja vorhin)
Also wo ist jetzt dein Problem?
Aufgabe: Leite [mm] a^x [/mm] ab. Als Tip kriegst du Gratis dazu.
[mm] $a^x [/mm] = [mm] e^{x*\ln(a)}$
[/mm]
Und jetzt: Kettenregel! Was ist deine äußere Funktion, was ist deine innere Funktion?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
also ich habe dann als äußere Funktion wieder [mm] e^u [/mm] die abgeleitet auch [mm] e^u [/mm] ist
innere Funktion ist x*ln(a) was abgeleitet dann ln(a) ist.
Füge ich das ganze zusammen hab ich dann e{x*ln(a)}*ln(a) -> [mm] a^x*ln(a) [/mm] ?
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Hallo Stuck,
> also ich habe dann als äußere Funktion wieder [mm]e^u[/mm] die
> abgeleitet auch [mm]e^u[/mm] ist
>
> innere Funktion ist x*ln(a) was abgeleitet dann ln(a) ist.
>
> Füge ich das ganze zusammen hab ich dann e{x*ln(a)}*ln(a)
> -> [mm]a^x*ln(a)[/mm] ?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
| Aufgabe | Ableitung mit Hilfe der Kettenregel:
f(x) = [mm] sin\wurzel{x} [/mm] |
Hab noch eine Aufgabe gefunden.
Wie geh ich da genau vor? Ist da die Kettenregel überhaupt nötig?
ich hab jetzt erstmal die [mm] \wurzel{x} [/mm] umgeschrieben in [mm] x^\bruch{1}{2}
[/mm]
dann hätte man [mm] sin*x^\bruch{1}{2}
[/mm]
Müsste man da nicht eigentlich die Produktregel nehmen?
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Hiho,
> dann hätte man [mm]sin*x^\bruch{1}{2}[/mm]
> Müsste man da nicht eigentlich die Produktregel nehmen?
Wo soll denn da ein Produkt stehen? Was ist [mm] $\sin$ [/mm] denn für ein Faktor?
Dort steht [mm] $\sin\left(x^\bruch{1}{2}\right)$!
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Stuck |
dann wäre die äußere Funktion: sin(u) und die Ableitung davon cos(u)
die innere Funktion [mm] x^\bruch{1}{2} [/mm] und die Ableitung davon [mm] \bruch{1}{2}*x^\bruch{-1}{2}
[/mm]
Das wäre dann komplett: [mm] cos\wurzel{x}*(\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2})
[/mm]
kann man den hinteren teil noch irgendwie als Wurzel umschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Sa 21.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Klammern setzen, sonst weiss man nicht, wo der cos aufhört
$ [mm] cos(\wurzel{x})\cdot{}(\bruch{1}{2}x^\bruch{-1}{2})=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}*cos(\wurzel{x})$
[/mm]
weil [mm] x^{-1|2}=1/x^{1|2}
[/mm]
Gruss leduart
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