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| Aufgabe | Bilden Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion:
$f(x) = [mm] \wurzel{x}^\wurzel{x}$ [/mm] |
Komm hier irgendwie nicht weiter, bzw weiß nicht obs so stimmt wie ich das mache:
$f(x) = [mm] \wurzel{x}^\wurzel{x}$ \Rightarrow x^{\bruch{1}{2}}^{x^\bruch{1}{2}}
[/mm]
Dann wend ich doch die Kettenregel an.
Weiß nur nicht ob ich sie richtig anwende:
[mm] \bruch{1}{2}x^{\bruch{1}{2}}^{x^-\bruch{1}{2}}\cdot{}\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}^{x^\bruch{1}{2}}
[/mm]
Bin mir ziemlich sicher, dass es nicht stimmt. Weiß aber nicht wie ich es sonst machen sollte.
Vielen Dank im Voraus!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo dreamweaver!
Bevor Du hier ans Ableiten denkst, musst Du die Funktionsvorschrift in eine e-Funktion umwandeln.
[mm]f(x) \ = \ \wurzel{x}^{\wurzel{x}} \ = \ \left(x^{\bruch{1}{2}}\right)^{\wurzel{x}} \ = \ x^{\bruch{1}{2}*\wurzel{x}} \ = \ \left( \ e^x \ \right)^{\ln\left(\bruch{1}{2}*\wurzel{x}\right)} \ = \ \ e^{x*\ln\left(\bruch{1}{2}*\wurzel{x}\right)}[/mm]
Gruß
Loddar
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Wieso muss man die Funktion in eine e-Funktion umformen?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Sa 11.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo dreamweaver!
Weil es für die Funktion in der ursprünglich dargestellten Form keine Ableitungsregeln gibt.
Gruß
Loddar
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Alles klar, danke.
Habs nun mit deiner Form abgeleitet:
f(x) = [mm] e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})}
[/mm]
[mm] f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})} \cdot{} [/mm] 1 [mm] \cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x}) [/mm] + x [mm] \cdot{}\bruch{2}{\wurzel{x}}\cdot{}\bruch{1}{4}\cdot{}x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] =
= [mm] e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})} \cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Stimmt das so?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Alles klar, danke.
>
> Habs nun mit deiner Form abgeleitet:
> f(x) = [mm]e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})}[/mm]
>
> [mm]f^{(1)}(x)[/mm] = [mm]e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})} \cdot{}[/mm]
> 1 [mm]\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})[/mm] + x
> [mm]\cdot{}\bruch{2}{\wurzel{x}}\cdot{}\bruch{1}{4}\cdot{}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> =
>
> = [mm]e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})} \cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Klammern setzen und dann stimmts:
[mm]e^{x\cdot{}ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x})} \left\blue{(} \ ln(\bruch{1}{2}\wurzel{x}) +\bruch{1}{2} \ \right\blue{)}[/mm]
> Stimmt das so?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Alles klar, vielen Dank euch beiden!
Lg
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