Ableitung mit der h-Methode < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe: Bestimme mit der h-Methode jeweils die Ableitung der angebenen Funktion an der jeweils angegebenen Stelle.
a) f(x) = [mm] x^2 [/mm] - 3x + 2 ; x0 = -3
m = [mm] \bruch{-3 + h - (-3)}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-3 + h)^2 +3(-3 + h) + 2 - [-3^2 + 3 * (-3) + 2]}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{-3^2 +6h + h^2 - 9 + 3h +2 +3^2 + 9 -2}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{9h + h^2}{h}
[/mm]
= [mm] \bruch{h (9 + h)}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h=0} [/mm] (9 + h) = 9
b)f(x) = [mm] \bruch{1}{2+x} [/mm] ; x0= 2 |
Die Aufgabe a) habe ich zwar gelöst, aber bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob die Lösungansätze richtig sind.
und bei der Aufgabe b) (mit Brüchen) komme ich gar nicht klar... kann mir jemand weiterhelfen?
mfg Markus
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Hallo ,
du hast leider deine Rechnung in die Aufgabenstellung mitreingeschrieben.
Du hast einen Vorzeichenfehler bei a , da kommt -9 raus ( kannst das mit der "normalen" Ableitung überprüfen).
ZITAT : " $ [mm] \bruch{(-3 + h)^2 +3(-3 + h) + 2 - [-3^2 + 3 \cdot{} (-3) + 2]}{h} [/mm] $ "
Du hast statt - + geschrieben , es heißt -3*(-3+h).
Die allgemeine Formel lautet so hier :
[mm] lim_{h\rightarrow\ 0 } \bruch{f(x_0+h)-f(x)}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h\rightarrow\ 0 } \bruch{((-3+h)^{2})-3(-3+h)+2)-(9+9+2)}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h\rightarrow\ 0 } \bruch{(h^{2}-6h+9)-3h+9+2-20}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h\rightarrow\ 0 } \bruch{h^{2}-9h+20-20}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h\rightarrow\ 0 } \bruch{h^{2}-9h}{h}
[/mm]
[mm] lim_{h\rightarrow\ 0 } \bruch{h(h-9)}{h} [/mm] = -9
Beim Bruch genau das gleiche Schema abarbeiten.
Aber aufpassen beim Nenner , durch Null teilen ist nicht definiert!
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| Aufgabe | Die Aufgabe zu b) lautet folgenderweise:
Bestimme mit der h-Methode jeweils die Ableitung der angebenen Funktion an der jeweils angebenen Stelle.
f(x) = [mm] \bruch{1}{2 + x} [/mm] ; x0 = 2 |
Ah hast recht... habe auf die Vorzeichen nicht geachtet :) Vielen Dank.
also bei der b) habe ich folgendes raus: (ich muss sagen, bei Brüchen bin ich nicht grad der beste)
lim h->0 = [mm] (\bruch{1}{2+2+h}) [/mm] - [mm] [\bruch{1}{2+2+h}]
[/mm]
lim h->0 = [mm] (\bruch{1}{4+h}) [/mm] - [mm] [\bruch{1}{4+h}]
[/mm]
lim h->0 = [mm] \bruch{0}{0} [/mm] = 0
Ich glaube die Rechnung ist völlig falsch... weil ein Freund von mir auf folgende Ergebnis kommt: f'(2) = [mm] \limes_{h\rightarrow\0} (\bruch{-1}{16+4h}) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{16}
[/mm]
jedoch hat er mir nicht den Lösungsansatz nicht aufgeschrieben, kann mir jmd weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 18.03.2012 | | Autor: | chrisno |
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> lim h->0 = [mm](\bruch{1}{2+2+h})[/mm] - [mm][\bruch{1}{2+2+h}][/mm]
Im zweiten Term gehört das h nicht hin, da steht doch nur [mm] $f(x_0)$
[/mm]
Dann fehlt noch, dass das Ganze durch h geteilt werden soll.
Es heißt doch [mm] $\bruch{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$
[/mm]
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0} \left(\bruch{\bruch{1}{2+2+h} - \bruch{1}{2+2}}{h}\right)$
[/mm]
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0} \left(\bruch{\bruch{1}{4+h} - \bruch{1}{4}}{h}\right)$
[/mm]
Die Brüche im Zähler auf den Hauptnenner bringen und addieren
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0} \left(\bruch{\bruch{4 \cdot 1}{4 \cdot(4+h)} - \bruch{1 \cdot(4+h)}{4 \cdot(4+h)}}{h}\right)$
[/mm]
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0} \left(\bruch{\bruch{4 - (4+h)}{4 \cdot(4+h)}}{h}\right)$
[/mm]
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0} \left(\bruch{\bruch{-h}{16 + 4 h}}{h}\right)$
[/mm]
Doppelbruch beseitigen
[mm] $\limes_{h\rightarrow\ 0} \left(\bruch{-h}{(16 + 4 h) \cdot h}\right)$
[/mm]
und der Rest bleibt für Dich: h herauskürzen und dann den Grenzwert berechnen.
> Ich glaube die Rechnung ist völlig falsch... weil ein
> Freund von mir auf folgende Ergebnis kommt: f'(2) =
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} (\bruch{-1}{16+4h})[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{16}[/mm]
Das kannst Du dann vergleichen.
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