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Hallo Zusammen.
geg. h(t)= [mm] g(t,t^2) [/mm] mit [mm] g(x,y)=x-y^2
[/mm]
ges.: h'(t)
Könnt Ihr mir in Worten erklären, wie h(t), [mm] g(t,t^2) [/mm] und g(x,y) zusammenhängen? Oder fehlt evtl. etwas Wichtiges in der Aufgabenstellung?
Wie würdet Ihr h'(t) mit der Kettenregel ermitteln?
Ich wüßte garnicht wo ich hier anfangen muß bei der Anwendung der Ketternregel für multivariate Fkten.
Danke!
Lieben Gruß,
Peter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 03.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hallo Peter,
setze doch einfach t für x und [mm] t^2 [/mm] für y in [mm] g(x,y)=x-y^2 [/mm] ein. Dann erhälst Du eine Funktion, die nur von t abhängt und die man leicht differenzieren kann.
Also [mm] h(t)=t-t^4
[/mm]
mfg ullim
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Huhu ullim.
1000 Dank.
Habe eine Lsg. dazu in der steht:
h'(t) = [mm] (\partial g/\partial x)(t,t^2)*(\partial g/\partial y)(t,t^2)*(2*t)=
[/mm]
= [mm] 1-4*t^3
[/mm]
Verstehe nur noch nicht woher der Faktor (2t) in diesem Ansatz stammt.
Deine Lsg. finde ich sympathischer.
Weißt Du/Ihr woher der Faktor kommt?
Danke für die Unterstützung nochmal, Ullim.
Ahoi, Peter.
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Offenbar solltest du hier [mm](g \circ h)(t)[/mm] nach der mehrdimensionalen Kettenregel ableiten. Formal sieht das genau so aus wie eindimensional:
[mm](g \circ h)'(t) = g' \left( h(t) \right) \cdot h'(t)[/mm]
Hierbei sind die Faktoren Matrizen, der Malpunkt gibt das Matrizenprodukt an. Die Zeilen der Matrizen bestehen aus den partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen.
[mm]g[/mm] hat nur eine Komponentenfunktion. Daher nur eine Zeile mit den partiellen Ableitungen:
[mm]g'(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial{g}}{\partial{x}} & \frac{\partial{g}}{\partial{y}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2y \end{pmatrix}[/mm]
Und jetzt [mm]h[/mm] einsetzen:
[mm]g' \left( h(t) \right) = g' \left( t \, , \, t^2 \right) = \begin{pmatrix} 1 & -2t^2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]h[/mm] hat zwei Komponentenfunktion. Daher zwei Zeilen. Dafür sind hier die partiellen Ableitungen besonders einfach. Es gibt ja nur eine Variable [mm]t[/mm]:
[mm]h'(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix}[/mm]
Jetzt die Matrizen miteinander multiplizieren:
[mm](g \circ h)'(t) = g' \left( h(t) \right) \cdot h'(t) = \begin{pmatrix} 1 & -2t^2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \end{pmatrix}[/mm]
In diesem Spezialfall "Zeile mal Spalte" zeigt sich das Matrizenprodukt als das Standardskalarprodukt.
Die von dir angegebene Formel ist ziemlich vermurkst. Da hast du etwas falsch verstanden oder abgeschrieben.
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