Ableitung überprüfen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Do 12.01.2006 | | Autor: | Freak84 |
| Aufgabe | Es sei f : [mm] R^{p} \to R^{q} [/mm] linear f (x) = Ax mit einer (p,q) Matrix A
a)Bestimmen Sie die erste Ableitung von f(x)
b) Es sei p=q und g:= f [mm] \circ [/mm] f
Bestimmen Sie die erste Ableitung |
Hi Leute
Ich habe schon eine Lösung raus aber irgendwie glaube ich, dass sie Falsch ist da sie so Simpel war.
Ich habe es so gemacht
[mm] \limes_{x_{o}\rightarrow x} \bruch{f(x) - f(x_{0} )}{x - x_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x_{o}\rightarrow x} \bruch{Ax - Ax_{0}}{x - x_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x_{o}\rightarrow x} \bruch{A ( x - x_{0} ) }{x - x_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{x_{o}\rightarrow x} [/mm] A = A
[mm] \Rightarrow f^{´} [/mm] (x) = A
Allerdings kommt mir das irgendwie komisch vor.
und für g:= f [mm] \circ [/mm] f = [mm] A^{2} [/mm] x
habe ich Analog [mm] g^{´} [/mm] (x) = [mm] A^{2}
[/mm]
Ist das richtig ?
Danke für euere Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 12.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Die Aussagen sind richtig, aber doch nicht die Herleitung.
Du kannst doch für $p>1$ nicht durch Elemente des [mm] $\IR^p$ [/mm] teilen! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Bitte versuche es noch einmal, mit der Definition der Differenzierbarkeit/Ableitung in höherdimensionalen Räumen...
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:22 Do 12.01.2006 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank
da habe ich jetzt gar nicht drauf geachtet so ein misst.
Mhh ist es so richtig ?
f(x+h) - f(x) = A ( x+h) -A(x) = Ax + Ah - Ax = Ah
allerdings läuft das h doch gegen null also würde dann 0 Rauskommen.
Den ansatz hat uns Unser Tutor gegeben also den ersten Schritt f(x+h) - f(x) nur den habe ich verworfen gehabt weil da meiner Meinung nach Null raus kommt. Oder irre ich mich da ?
|
|
|
| |
|
Hallo Michael,
Da mußt Du nochmal gucken wie ihr (totale) Diffbarkeit definiert habt.
Sicher nicht
Ableitung = [mm] \lim_{h\to 0} [/mm] f(x+h)-f(x)
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 12.01.2006 | | Autor: | Freak84 |
Wir haben diesen Satz bekommen
f differenzierbar [mm] \gdw \exists [/mm] (q,p) Matrix A und eine für h [mm] \not= [/mm] 0 ( h [mm] \in \IR^{p} [/mm] ) erklärte Funktion mit
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{ r(h)}{|h|} [/mm] = 0
so dass folgendes gilt:
f(x+h) - f(x) = A(h) + r(h)
nur werde ich da nicht schlau drauß. Dann müsste es doch so aussehen:
A(x+h) - A(x) = A(h) +r(h)
A(x) + A(h) - A(x) = A(h) + r(h)
0 = r(h)
nur was bringt mir das ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Do 12.01.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Wir haben diesen Satz bekommen
>
> f differenzierbar [mm]\gdw \exists[/mm] (q,p) Matrix A und eine
> für h [mm]\not=[/mm] 0 ( h [mm]\in \IR^{p}[/mm] ) erklärte Funktion mit
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{ r(h)}{|h|}[/mm] = 0
>
> so dass folgendes gilt:
>
> f(x+h) - f(x) = A(h) + r(h)
>
> nur werde ich da nicht schlau drauß. Dann müsste es doch so
> aussehen:
>
> A(x+h) - A(x) = A(h) +r(h)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") hier geht's dann dahin.....
Du musst mit Deinen Bezeichnungen vorsichtig sein: A auf der linken Seite bezeichnet die gegebene Matrix aus der Aufgabe, A auf der rechten Seite bedeutet die gesuchte Ableitungsmatrix (die bis jetzt ja noch unbekannt ist)!
> A(x) + A(h) - A(x) = A(h) + r(h)
> 0 = r(h)
> nur was bringt mir das ?
>
Wie lässt sich das Problem beheben?
Verwendet man für die Matrix auf der rechten Seite einen anderen Bezeichner, dann steht da:
A(x+h) -A(x) = B(h) + r(h)
....und jetzt muss man nur noch eine Matrix B finden, für die der Rest r(h) die geforderte Eigenschaft hat. Nach Deinem gerade gegangenen Irrweg sollte das in diesem Fall aber kein Problem sein, oder?
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 12.01.2006 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank für den Hinweis
Nun habe:
A(x+h) - A(x) = B(h) + r(h)
A(x) + A(h) - A(x) = B(h) + r(h)
A(h) = B(h) + r(h)
A(h) = B(h)
Kann ich nun schlussfolgern dass:
A = B
und somit, dass die ableitung
A ist ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 12.01.2006 | | Autor: | piet.t |
.... und r(h) = 0, was ja sicher die Grenzwertbedingung erfüllt.
Genau das wäre mein Tipp!
Eine "Ableitung" ist ja im prinzip eine lokale Näherung der ursprünglichen Funktion durch eine lineare Funktion. Und wenn die Funktion selbst schon linear ist sollte ja nicht viel zu tun bleiben, oder?
Gruß
piet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 12.01.2006 | | Autor: | Freak84 |
Vielen Dank für die Hilfe
Habe jetzt nur noch eine Frage zur Richtigen Notation.
Ich würde es jetzt so aufschreiben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x+h) - f(x) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ( B(h) + r(h) )
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ( A(x+h) -A(x) ) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ( B(h) + r(h) )
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ( A(x) + A(h) -A(x) ) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] ( B(h) + r(h) )
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] (A(h)) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] B(h) + [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] r(h)
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] (A(h)) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] B(h)
A = B
und somit ist die erste Ableitung von f = A
ist das so richtig ?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Michael,
Mir fehlt hier noch der Übergang zur Definition.
z.B.
mit A=B gilt
Außerdem steht in der Def. nichts von irgendwelchen Grenzwerten über f.
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
Hallo Michael,
> Wir haben diesen Satz bekommen
>
> f differenzierbar [mm]\gdw \exists[/mm] (q,p) Matrix A und eine
> für h [mm]\not=[/mm] 0 ( h [mm]\in \IR^{p}[/mm] ) erklärte Funktion mit
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{ r(h)}{|h|}[/mm] = 0
>
> so dass folgendes gilt:
>
> f(x+h) - f(x) = A(h) + r(h)
>
> nur werde ich da nicht schlau drauß. Dann müsste es doch so
> aussehen:
>
> A(x+h) - A(x) = A(h) +r(h)
> A(x) + A(h) - A(x) = A(h) + r(h)
> 0 = r(h)
> nur was bringt mir das ?
Naja dann bist Du fertig. Du hast eine entsprechende Matrix A und eine Funktion r(h) wobei für r(h) gilt
[mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{ r(h)}{|h|} = 0[/mm]
wie in der Def. verlangt war.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
