Ableitung und DGL finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung des Funktionales
I(u) = [mm] \bruch{1}{4} \integral_{0}^{1}{u'(x)^{4} + u(x)^{4} dx}
[/mm]
auf dem Banach- Raum [mm] C^{1}([0,1] [/mm] , [mm] \IR). [/mm] Welche Differentialgleichung muss eine [mm] C^{2} [/mm] - Funktion u erfüllen, damit dI(u)h = 0 für alle h [mm] \in C^{1}([0,1] [/mm] , [mm] \IR) [/mm] mit h(0) = 0 = h(1) gelten kann? |
Hi an alle,
könntet ihr mir mal bitte helfen. Hab irgendwie den Kern der aufgabe noch nicht so ganz kapiert.
Dankeschön im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen
Felix
I(u) = [mm] \bruch{1}{4} \integral_{0}^{1}{u'(x)^{4} + u(x)^{4} dx}
[/mm]
d I(u) = [mm] \bruch{d}{dx}\bruch{1}{4} \integral_{0}^{1}{u'(x)^{4} + u(x)^{4} dx}
[/mm]
I(u) = [mm] \bruch{1}{4} u'(x)^{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} u(x)^{4}
[/mm]
und wie kann man da weiter machen...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 So 31.05.2009 | | Autor: | zahllos |
Hallo Ultio,
ist mit der Ableitung des Funktionals die erste Varation gemeint?
Wenn ja, dann mußt du Folgendes berechnen:
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\frac{1}{t}(I(u+th)-I(u))=
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\frac{1}{t}\frac{1}{4}\integral_{0}^{1}{(u'+th')^4+(u+th)^4-u'^4-u^4 dx}
[/mm]
Wenn du die Terme der Form [mm] (...)^4 [/mm] ausmultiplizierst, heben sich [mm] u^4 [/mm] und [mm] {u'}^4 [/mm] weg, du kannst mit t kürzen und anschließend t gegen 0 gehen lassen, damit erhälst du die Variation des Funktionals in Richtung h.
Um die DGL zu bekommen gehst du so vor: Bei deinem Ergebnis tritt unter dem Integral ein Term mit h' auf. Den kannst du partiell integrieren (wegen u [mm] \in C^2 [/mm] ), die Randwerte fallen weg (wegen h(0)=h(1)=0) und du erhälst im Integranten einen Differentialausdruck zweiter Ordnung für u. Dies ist die gesuchte DGL, die sog. Euler-Lagrange-Differentialgleichung dieses Funktionals.
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