Ableitung und Mittelwertsatz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Di 05.12.2006 | | Autor: | Marionne |
Hallo Leute!
Ich sitze jetzt schon ziemlich lange an meinen Hausaufgaben und komme mit zwei Teilaufgaben wirklich gar nicht weiter. Wir sollen
Arctan( x )+ arctan (1/x) = pi/2 mit der Ableitung von arctan(x) + arctan(1/x) beweisen. (Da ich nicht wusste wie ich's hier sonst schreiben kann, habe ich pi ausgeschrieben.)
(pi/2)' =0 ,oder? Also müsste auch (arctan(x) + arctan (1/x) )' = 0 herauskommen.
Arctan' (y) = 1/(y² +1),
(Arctan(x) + arctan (1/x))' = 1/(x² +1) + 1/((1/x²) +1). Das ist allerdings nicht null. Wo liegt mein Fehler?
Im Tutorium sollten wir durch den Mittelwertsatz zeigen , dass x(hoch n) + px +q höchstens zwei Nullstellen im Reellen hat, wenn n gerade und höchstens drei Nullstellen im Reellen hat,wenn n ungerade. Diese Aufgabe ist wichtig um die Hausaufgaben zu können und ich habe sie nicht verstanden.
Angenommen wir haben zwei Nullstellen
f(X1)=f(X2) =0
0= (f(X2) - f(X1))/(X2-X1)=f '(fi),
-> 0= n (fi hoch n-1) +p -> fi hoch (n-1) = - p/2
-> p>0 und n gerade liefert eine Lösung
p>0 und n ungerade liefert keine Lösung
p<0 und n gerade liefert eine Lösung
p<0 und n ungerade liefert zwei Lösungen
Erstmal verstehe ich nicht, wie genau man daraus die Nullstellen ersehen soll und warum bei p>0 und n gerade eine Lösung existiert..fi müsste dann doch die Wurzel von etwas Negativem sein und das geht doch eigentlich im Reellen nicht..
Danke im Vorraus ,
Grüße von Marionne
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[mm]v(x) = \arctan{\frac{1}{x}}[/mm]
[mm]v'(x) = \frac{1}{1 + \left( \frac{1}{x} \right)^2} \cdot \left( - \frac{1}{x^2} \right) = \ldots[/mm]
Aber Vorsicht! Aus [mm]f'(x) = 0[/mm] darf man nur dann [mm]f(x) = \text{konstant}[/mm] schließen, wenn der Definitionsbereich von [mm]f[/mm] ein Intervall ist. Mache daher eine Fallunterscheidung: [mm]x \in \left( 0 \, , \, \infty \right)[/mm] bzw. [mm]x \in \left( - \infty \, , \, 0 \right)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Marionne |
Hallo Leopoldgast!
Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Du hast also (1/x)` berechnet. Vom Gefühl her erscheint mir das auch logisch, aber ich weiß nicht genau welche Regel dahintersteckt. Kannst du mir die noch sagen?
Grüße von Marionne
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[mm]x \mapsto t = \frac{1}{x} \mapsto y = \arctan{t} = \arctan{\frac{1}{x}}[/mm]
Hier handelt es sich um eine Verkettung mit [mm]x \mapsto t = \frac{1}{x}[/mm] als innerer und [mm]t \mapsto y = \arctan{t}[/mm] als äußerer Funktion. Also: Kettenregel!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Do 07.12.2006 | | Autor: | Marionne |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Die Aufgabe ist jetzt so weit klar.
Grüße von Marionne
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