Ableitung und Nullstellen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Do 02.02.2006 | | Autor: | Circlar |
| Aufgabe | | Ableitungen und Nullstellen bilden für eine Kurvendiskussion von zwei Funktionen. |
hallo,
ich muss für folgende zwei funktionen die ableitungen bilden und die nullstellen berechnen.
1. [mm] f(x)=(cos(x))^2
[/mm]
f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x))
f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x))
= [mm] 2*sin(x)^2-2*cos(x)^2 [/mm]
f'''(x)=4*sin(x)-4*cos(x)
2. f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) = [mm] sin(x)+sin(x)^2
[/mm]
f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x)
[mm] f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x))
[/mm]
= [mm] 2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-sin(x) [/mm]
f'''(x)=4*cos(x)-4*sin(x)-cos(x)
ich bin mir aber nicht sicher ob dies so richtig ist. insbesondere bei den zweiten und dritten ableitungen.
mit der nullstellenberechnung komme ich überhaupt nicht klar.
es wäre schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Do 02.02.2006 | | Autor: | mrant |
Ok zu den Nullstellen, hier vielleicht was was dir weiterhilft
cos = 0 bei 90° und 270°
sin = bei 0° und 180°
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:53 Do 02.02.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hi Circlar!
> 1. [mm]f(x)=(cos(x))^2[/mm]
>
> f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x))
Hab ich auch. Hier wäre es noch schön, das Minuszeichen ganz an den Anfang zu stellen.
> f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x))
> = [mm]2*sin(x)^2-2*cos(x)^2[/mm]
Hier hab ich etwas anderes raus: -2 * [mm] cos(x)^2 [/mm] - [mm] sin(x)^2
[/mm]
Die 2, die du in der 1. Ableitung rauskriegst ist ja ne Konstante, die musst du meiner Meinung nach bei der Berechnung der Ableitung nicht beachten. Da gibt es so ne Ableitungsregel:
y = C * f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] y' = C * f'(x)
> f'''(x)=4*sin(x)-4*cos(x)
Dasa schauen wir uns dann später an.
> 2. f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) = [mm]sin(x)+sin(x)^2[/mm]
>
> f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x)
Hmm, hier hab ich 3 * [mm] sin(x)^2 [/mm] * cos(x) raus.
Am besten postest du mal deinen kompletten Rechenweg, dann könmnen wir in Ruhe mal drüberschauen.
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:10 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Circlar |
Hallo,
meine Ableitungen habe ich nochmal geprüft, die müssten richtig sein, bis auf die dritten. Die habe ich korrigiert.
1. [mm] f(x)=(cos(x))^2 [/mm]
f'(x)=2*cos(x)*(-sin(x))
f''(x)=2*(-sin(x))*(-sin(x))+2*cos(x)*(-cos(x))
= [mm] 2*sin(x)^2-2*cos(x)^2
[/mm]
f'''(x)=4*sin(x)*cos(x)-4*cos(x)*(-sin(x))
=4*SIN(X)*COS(X)+4*SIN(X)*COS(X)
2. f(x)=sin(x)*(1+sin(x)) = [mm] sin(x)+sin(x)^2 [/mm]
f'(x)=cos(x)+2*sin(x)*cos(x)
[mm] f''(x)=-sin(x)+2*cos(x)^2+2*sin(x)*(-sin(x)) [/mm]
= [mm] 2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-sin(x)
[/mm]
f'''(x)=-cos(x)+4*cos(x)*(-sin(x))+2*cos(x)*(-sin(x))+2*sin(x)*(-cos(x))
Allerdings lassen sich beide dritte Ableitungen weiter verkürzen. Nur da weis ich nicht so richtig weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 03.02.2006 | | Autor: | Circlar |
Hallo,
vielen Dank schonmal für die Antworten.
Jetzt brauche ich die Nullstellen und muss dann die Extrema und Wendestellen berechnen. Ich habe eine der beiden Funktionen jetzt in g(x) umbenannt.
1. [mm] f(x)=(cos(x))^2
[/mm]
f(x)=0
[mm] 0=(cos(x))^2 [/mm] | sqr
0=cos(x)
?
2. g(x)=sin(x)+(1+sin(x))
= [mm] sin(x)+sin(x)^2
[/mm]
g(x)=0
?
Nur jetzt komme ich nicht weiter.
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Hallo Circlar,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Jetzt brauche ich die Nullstellen und muss dann die Extrema
> und Wendestellen berechnen. Ich habe eine der beiden
> Funktionen jetzt in g(x) umbenannt.
>
> 1. [mm]f(x)=(cos(x))^2[/mm]
> f(x)=0
> [mm]0=(cos(x))^2[/mm] | sqr
> 0=cos(x)
> ?
Da die Winkelfunktionen periodisch sind, betrachtet man i.d.R. nur eine Periodenlänge:
[mm] [-\pi,\pi] [/mm] oder [0, [mm] 2\pi]
[/mm]
[mm] $\cos(x) [/mm] =0$ hat dann 2 Nullstellen in [mm] [-\pi,\pi] [/mm] : genau die Ränder.
siehe auch ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus
>
> 2. g(x)=sin(x)+(1+sin(x))
> = [mm]sin(x)+sin(x)^2[/mm]
> g(x)=0
> ?
>
setze hier mal u = [mm] \sin(x) [/mm] und du erhältst eine quadratische Gleichung, die du leicht lösen kannst.
Rüch-Substitution nicht vergessen!
> Nur jetzt komme ich nicht weiter.
>
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Fr 03.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo circlar
1. cos x=0 folgt [mm] x=\pm (\pi/2 +n*\pi); [/mm] n=0,1,2,......
2. [mm] sinx+sin^{2}(x)=sin(x)*(1+sin(x)) [/mm] Produkt ist 0 wenn einer der Faktoren 0 also:
sinx=0 folgt [mm] x=\pm(\pi +n*\pi);
[/mm]
1+sinx=0, sinx=-1, folgt [mm] x=3/2*\pi \pm n*2*\pi.
[/mm]
Für die Nullstellen der Ableitung entsprechend vorgehen, wo nötig [mm] cos^{2}=1-sin^{2} [/mm] verwenden, oder die Additionstheoreme benutzte, (siehe Loddar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 So 05.02.2006 | | Autor: | Circlar |
Ich habe das Ganze jetzt mal durchgerechnet und bin zu folgenden Lösungen gekommen:
f(x)=sinx(1+sin(1))
Definitionsbereich: xER
Wertebereich: -0,25<-y<-2
Nullstellen:
x1= 0 + k*pi
x2= 3/2pi + k*2pi
Extrema:
xe1= pi/2 + k*pi
xe2= 3/2pi + k*pi
xe3= 11/6pi + k*2pi
xe4= 7/6pi + k*2pi
HP (pi/2 + k*2pi ; 2)
HP2 ( 3/2pi + k*2pi ; 0)
TP (11/6pi + k*2pi ; -1/4)
TP2 (7/6pi + k*2pi ; -1/4)
Wendestellen:
xw1= 0,635 + k*2pi
xw2= 5,28 + k+2pi
xw3= 2,5 + k*2pi
xw4= 4,14 + k*2pi
WP1= 0,635 +k*2pi ; 0,945
WP2= 5,28 +k*2pi ; -0,13
WP3= 2,5 +k*2pi ; 0,96
WP4= 4,14 +k*2pi ; -0,13
[mm] g(x)=(cos(x))^2
[/mm]
Definitionsbereich: xER
Wertebereich: 0<-y<-1
Nullstellen:
x= 1/2pi +k*pi
Extrema:
xe1= 0+k*pi
xe2= 1/2pi +k*pi
HP (0+k*pi ; 1)
TP (pi/2+k*pi ; 0)
Wendestellen:
x1= +-1/4pi +k*pi
WP1= 1/4pi +k*pi ; 1/2
WP2= -1/4pi +k*pi ; 1/2
Mein großes Problem ist jetzt noch, wie ich die Symetrie und das Verhalten im Unendlichen bei beiden Funktionen bestimme. Davon habe ich keine Ahnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mo 06.02.2006 | | Autor: | Circlar |
Hallo,
die Artikel habe ich gelesen, aber nicht so ganz verstanden.
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Circlar
1. im Unendlichen: da du ja schon gezeigt hast, dass Nullstellen, Extrema und Wdpkt immer so weiter gehen, sieht die Funktion überall gleich aus,(periodisch), Also keine Assymptote im unendlichen.
2. Symmetrie: zu wissen :a) cos(x)=cos(-x), daran ändert das zusätzliche ^2 nichts, d.h. symetrisch zur y- Achse.
sin(-x)=-sinx f(x)=sinx(1+sinx), f(-x)=-sinx(1-sinx) .dh. weder f(-x)=f(x)
noch f(-x)=-f(x) also weder sym. zu yAchse, noch Punktsym zum 0 Pkt.
Wenn du die Nst, Max und Min usw ansiehst, kannst du vielleicht sehen, dass f zu der Geraen [mm] x=\pi/2 [/mm] sym. ist. Aber sym ausser zum 0Pkt oder y Achse sind auf der Schule meist nicht gefragt.
Gruss leduart
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Alle drei richtig!
Achsensymmetrie