Ableitung von Funktionen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Da ich immer noch mit dem Ableiten Schwierigkeiten habe, frage ich mal lieber nach.
Ich soll die folgende Funktion ableiten
[mm] g:=\left\{ \begin{matrix}x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x}), & \mbox{wenn }x\neq0\\
0, & \mbox{wenn }x=0\end{matrix}\right.
[/mm]
Wenn ich das nun richtig sehe muss ich die Produktregel anwenden und ausgeschrieben ist das ganze ja :
[mm] x\cdot x\cdot sin(\frac{1}{x})
[/mm]
mit
[mm] (a\cdot b\cdot c)'=a'\cdot b\cdot c+a\cdot b'\cdot c+a\cdot b\cdot [/mm] c'
folgt
[mm] 1\cdot x\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot1\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot x\cdot [/mm] cos(1)
Also ist
[mm] g':=\left\{ \begin{matrix}1\cdot x\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot1\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot x\cdot cos(1), & \mbox{wenn }x\neq0\\
0, & \mbox{wenn }x=0\end{matrix}\right.
[/mm]
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Da ich immer noch mit dem Ableiten Schwierigkeiten habe,
> frage ich mal lieber nach.
>
> Ich soll die folgende Funktion ableiten
>
> [mm]g:=\left\{ \begin{matrix}x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x}), & \mbox{wenn }x\neq0\\
0, & \mbox{wenn }x=0\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Wenn ich das nun richtig sehe muss ich die Produktregel
> anwenden und ausgeschrieben ist das ganze ja :
>
> [mm]x\cdot x\cdot sin(\frac{1}{x})[/mm]
>
> mit
>
> [mm](a\cdot b\cdot c)'=a'\cdot b\cdot c+a\cdot b'\cdot c+a\cdot b\cdot[/mm]
> c'
>
> folgt
>
> [mm]1\cdot x\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot1\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot x\cdot[/mm]
> cos(1)
>
> Also ist
>
> [mm]g':=\left\{ \begin{matrix}1\cdot x\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot1\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot x\cdot cos(1), & \mbox{wenn }x\neq0\\
0, & \mbox{wenn }x=0\end{matrix}\right.[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein.
1. Du mußt doch wirklich nicht mit 3 Faktoren arbeiten !
Es ist $ [mm] x^2*sin(\frac{1}{x}) [/mm] = u*v$ mit $u = [mm] x^2$ [/mm] und $v= [mm] sin(\frac{1}{x}) [/mm] $.
2. bei Dir ist die Ableitung [mm] $(sin(\frac{1}{x}))' [/mm] = cos(1) $. Das ist nun aber völliger Quark
3. Woher weißt Du, dass g in 0 differenzierbar ist und das $g'(0)=0$ ist. ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
$ [mm] (sin(\frac{1}{x}))' [/mm] = cos(1) $
Stimmt wenn ich nun nocheinmal drüber nachdenke kann ich es ja auch als hoch -1 schreiben also
[mm] sin(\frac{1}{x})=sin(x^{-1})
[/mm]
und das abgeleitet ist :
[mm] cos(-x^{-2})=-cos(x^{-2})=-cos(\frac{1}{x^{2}})
[/mm]
also wäre
[mm] x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x})
[/mm]
abgeleitet :
[mm] x^{2}\cdot-cos(\frac{1}{x^{2}})+2x\cdot sin(\frac{1}{x})
[/mm]
Stimmt das dann so ?
3. Woher weißt Du, dass g in 0 differenzierbar ist und das $ g'(0)=0 $ ist. ??
Also ich weiss das g nicht differenzierbar ist, allerdings bin ich da vom Wissen her etwas Schwach auf der Brust, was meinst du denn genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm](sin(\frac{1}{x}))' = cos(1)[/mm]
>
> Stimmt wenn ich nun nocheinmal drüber nachdenke kann ich
> es ja auch als hoch -1 schreiben also
>
> [mm]sin(\frac{1}{x})=sin(x^{-1})[/mm]
>
> und das abgeleitet ist :
>
> [mm]cos(-x^{-2})=-cos(x^{-2})=-cos(\frac{1}{x^{2}})[/mm]
>
> also wäre
>
> [mm]x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x})[/mm]
>
> abgeleitet :
>
> [mm]x^{2}\cdot-cos(\frac{1}{x^{2}})+2x\cdot sin(\frac{1}{x})[/mm]
>
> Stimmt das dann so ?
nein, das ist ja grausam ! weißt Du wie man "Kettenregel" schreibt ?
Mach Dich schlau. es ist [mm] $(sin(\frac{1}{x}))' [/mm] = [mm] -cos(\frac{1}{x})*\frac{1}{x^2}$
[/mm]
>
>
>
> 3. Woher weißt Du, dass g in 0 differenzierbar ist und das
> [mm]g'(0)=0[/mm] ist. ??
>
>
> Also ich weiss das g nicht differenzierbar ist,
Da weißt Du mehr als ich ! Spass beiseite: Du mußt noch zeigen: g ist in 0 differenzierbar
FRED
> allerdings
> bin ich da vom Wissen her etwas Schwach auf der Brust, was
> meinst du denn genau?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Also muss ich zuerst die Kettenregel anwenden und dann die Produktregel?
[mm] u=x^{2} \: v=sin(\frac{1}{x})
[/mm]
v ist mit der Kettenregel :
[mm] v=cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
Nun die Produktregel :
[mm] u=x^{2} \: v=cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] v=cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}\Leftrightarrow cos(x^{-1})\cdot-x^{-2}
[/mm]
[mm] x^{2}\cdot-sin(-x^{-2})\cdot x^{-3}+2x\cdot cos(x^{-1})\cdot-x^{-2}=x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x^{2}})\cdot\frac{1}{x^{3}}+2x\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist für mich nicht nachzuvollziehen, was Du hier treibst.
Richtig ist es jedenfalls nicht
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:50 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Ich habe es Schritt für Schritt einzelnd niedergeschrieben, mir fällt da auch nichts ein was unmissverständlich ist.
Wie ich bereits geschrieben habe, habe ich Schwierigkeiten beim Rechnen und deine Antworten helfen mir da nicht wirklich weiter.
Ich würde dich dann bitten die Frage offen zu lassen und sich jemand anders einmal versuchen zu lassen.
Ich habe immer noch die Frage ob ich nun nur die Produktregel anwenden muss oder zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel auf den Term den ich beim anwenden der Kettenregel für v herausbekommen habe, anwenden muss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe es Schritt für Schritt einzelnd
> niedergeschrieben, mir fällt da auch nichts ein was
> unmissverständlich ist.
Mir schon, aber lassen wir das ....
>
> Wie ich bereits geschrieben habe, habe ich Schwierigkeiten
> beim Rechnen und deine Antworten helfen mir da nicht
> wirklich weiter.
>
> Ich würde dich dann bitten die Frage offen zu lassen und
> sich jemand anders einmal versuchen zu lassen.
Ich habe niemandem verboten, sich an der Diskussion zu beteiligen (das kann und will ich auch nicht)
FRED
>
> Ich habe immer noch die Frage ob ich nun nur die
> Produktregel anwenden muss oder zuerst die Kettenregel und
> dann die Produktregel auf den Term den ich beim anwenden
> der Kettenregel für v herausbekommen habe, anwenden muss
>
>
>
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> Ich soll die folgende Funktion ableiten
>
> [mm]g:=\left\{ \begin{matrix}x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x}), & \mbox{wenn }x\neq0\\
0, & \mbox{wenn }x=0\end{matrix}\right.[/mm]
Hallo,
natürlich müßte man sich bei diesem Auftrag erstmal fragen, ob sie überhaupt differenzierbar ist...
Na gut, das können wir ja währenddessen tun.
Das Problem hat zwei große Teile:
einmal die Ableitung von g für die x mit [mm] x\not=0, [/mm] dann noch die Ableitung im Punkte x=0.
Beginnen wir mit der Ableitung von [mm] g(x)=x^{2}\cdot sin(\frac{1}{x}) ,(x\not=0).
[/mm]
Als Komposition diffbarer Funktionen ist g für [mm] x\not=0 [/mm] diffbar.
Für die Differentiation benötigt man zunächst die Produktregel:
(uv)'=u'v+v'u.
Mit [mm] u=x^2 [/mm] und [mm] v=sin{\bruch{1}{x}} [/mm] bekommt man
[mm] g'(x)=(x^2)'*sin{\bruch{1}{x}}+x^2*(sin{\bruch{1}{x}})'.
[/mm]
[mm] u'=(x^2)'= [/mm] ..., das bekommst Du sicher hin. [mm] x^2 [/mm] ableiten.
Nun brauchen wir noch v', die Ableitung von [mm] sin{\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Hier kommt die Kettenregel zum Einsatz, denn es ist die Funktion [mm] \bruch{1}{x} [/mm] in die Sinusfunktion eingesetzt.
---
Kettenregel: äußere Ableitung * innere Ableitung.
Ich mache das mal an einer etwas andere Funktion vor: [mm] h(x)=cos(x^2+3)
[/mm]
Die Ableitung von cos x ist -sinx, die Ableitung von [mm] x^2+3 [/mm] ist 2x.
Also:
h(x)=-sin( [mm] x^2+3) [/mm] * 2x.
---
So ähnlich geht das bei [mm] sin{\bruch{1}{x}} [/mm] auch.
Versuch nun nochmal.
Wenn das steht, können wir uns dem Punkt 0 zuwenden - falls es zuvor noch nicht geschehen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
[mm] g'=(x^{2})'\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot(sin(\frac{1}{x}))'
[/mm]
[mm] (x^{2})'=2x
[/mm]
[mm] (sin(\frac{1}{x}))'=cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
also müsste es dann folgendes sein :
[mm] g'=2x\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]g'=(x^{2})'\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot(sin(\frac{1}{x}))'[/mm]
>
> [mm](x^{2})'=2x[/mm]
>
> [mm](sin(\frac{1}{x}))'=cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}[/mm]
>
> also müsste es dann folgendes sein :
>
> [mm]g'=2x\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}[/mm]
>
>
darf ich antworten ?
Jetzt ist die Ableitung $g'(x)$ für x [mm] \not=0 [/mm] richtig !
Was machen wir in x = 0 ? Tipp: Differenzenquotient
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Ich kann den Differenzenquotient bilden, weil wir das in den Übungen schon hatten, allerdings weiss ich weder was ich da tue noch was das ganze nun aussagt:
[mm] {lim\atop n\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] {lim\atop n\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
[mm] {lim\atop n\rightarrow0}\frac{f(x)-0}{x-0}
[/mm]
[mm] {lim\atop n\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] {lim\atop n\rightarrow0}\frac{2x\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}}{x}
[/mm]
x rauskürzen
[mm] {lim\atop n\rightarrow0}2\cdot sin(\frac{1}{x})+x\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
da der [mm] {lim\atop n\rightarrow0}sin(\frac{1}{x}) [/mm] nicht existiert, existiert er auch mit dem Zeugs? drum rum nicht
[mm] \Rightarrow [/mm] g' ist in 0 nicht differenzierbar
Folgt daraus, dass für x=0 kein Wert existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Do 21.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du machst beim Differenzenquotient einen entscheidenden Fehler.
Du brauchst die Originalfunktion, nicht die Ableitung.
Es gilt:
[mm] f'(0)=\limes_{x\to0}\bruch{\green{f(x)}-\red{f(0)}}{x-0}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\to0}\bruch{\green{x^{2}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)}-\red{0}}{x-0}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\to0}\bruch{x^{2}\sin\left(\bruch{1}{x}\right)}{x}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\to0}x\sin\left(\bruch{1}{x}\right)
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
Ach ja:
Deine korrekte Ableitung kann man noch kürzen.
[mm] 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)+x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)
[/mm]
[mm] =2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Ok, für die Orginalfunktion habe ich das schon gemacht.
$ [mm] =\limes_{x\to0}x\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] $
Da existiert ja kein Grenzwert.
Ich weiss nur nun nicht wie ich dann die Ableitung förmlich hinschreibe.
Da der Grenzwert von g für $ [mm] =\limes_{x\to0}x\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] $
nicht existiert ist die Ableitung von g
nur existent für alle $ x [mm] \not=0 [/mm] $
$ [mm] g'=2x\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}} [/mm] $ für alle $ x [mm] \not=0 [/mm] $
$ g' $ für $ x =0 $ existiert nicht
so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, für die Orginalfunktion habe ich das schon gemacht.
>
> [mm]=\limes_{x\to0}x\sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
>
> Da existiert ja kein Grenzwert.
Doch ! (falls ich antworten darf). Es ist $|sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 1$ für jedes x [mm] \not=0, [/mm] somit:
$0 [mm] \le [/mm] |x* sin(1/x)| [mm] \le [/mm] |x|$ und daher [mm]\limes_{x\to0}x\sin\left(\bruch{1}{x}\right) = 0[/mm]
FRED
>
> Ich weiss nur nun nicht wie ich dann die Ableitung
> förmlich hinschreibe.
>
> Da der Grenzwert von g für
> [mm]=\limes_{x\to0}x\sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
> nicht existiert ist die Ableitung von g
>
> nur existent für alle [mm]x \not=0[/mm]
>
> [mm]g'=2x\cdot sin(\frac{1}{x})+x^{2}\cdot cos(\frac{1}{x})\cdot-\frac{1}{x^{2}}[/mm]
> für alle [mm]x \not=0[/mm]
>
> [mm]g'[/mm] für [mm]x =0[/mm] existiert nicht
>
> so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
ok danke,
dann habe ich es nun, da sie in 0 integrierbar ist kann ich die Ableitung bilden und die ist wieder 0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> ok danke,
>
> dann habe ich es nun, da sie in 0 integrierbar ist
................. Du meinst sicher "differenzierbar" ....
> kann ich
> die Ableitung bilden und die ist wieder 0
So ist es
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 21.01.2010 | | Autor: | Napkin |
Ja meine ich, danke dir :)
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