Ableitung von Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 10.09.2005 | | Autor: | JessiHol |
Hallo alle zusammen!
Ich fänd das total super, wenn mir mal jemand erklären könnte wie man Funktionen ableitet. Wie z.B. [mm] f(x)=(3x+5)^2
[/mm]
Ich war jetzt in der 11 als Austauschschüler in den USA und hab anscheinend einiges verpasst. Jetzt hab ich LK Mathe und dann noch als erste Jahrgangsstufe Zentralabi und ich versteh nur Bahnhof. woher weiss man z.B., dass f(x)= 6x+2 die Ableitung f'(x)=6 hat...????
Ich bin echt total verzweifelt und würde mich sehr über Erklärungen freuen!!!
Danke schon im Voraus
Liebe Grüße
Jezzy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Sa 10.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo Jessi.
Okay, das Thema Ableitungen ist nicht sonderlich schwer. Ich will's mal versuchen, recht anschaulich zu erklären.
Grundsätzlich musst du unterscheiden, ob bei dem abzuleitenden Polynom, Faktoren, Quotienten, oder du vielleicht eien Verkettung hast.
Doch nun erstmal zum ersten Fall. Geometrisch gesehen ist die Ableitung die Steigung eienr Tangente in einem ganz bestimmten punkt [mm] x_0.
[/mm]
Ich nehme mal zuerst ein anderes Beispiel: sei [mm] f(x)=2x^3. [/mm]
Um den Term nun abzuleiten, nimmst du den Exponenten (sprich die 3) "ziehst"sie vor das x und, und multiplizierst die 3 mit der Zahl die vor dem x steht. Hier also: [mm] 3*2x^3. [/mm] Dann steht da also zunächst [mm] 6x^3. [/mm] Damit bist du aber noch ncith fertig. Du musst fernen nur den Exponent um -1 verringern. Also ingesamt erhälst du dann: [mm] f(x)=6x^2 [/mm] klar?! (ich gebe zu nicht sehr mathematisch ausgedrückt, aber ich hoffe verständlich)
Leitest du einen konstanten Faktor ab, z.b 2, dann fällt er einfach bei der ableitung "weg". wenn du x ableitest steht an dieser Stelle in der 1.Ableitung nur noch eien 1. Die beiden Sachen musst du dir merken.
ALso zu deinem Bespiel: f(x)=6x+2 Abgeleitet: konstanter Faktor 2 fällt weg, und 6x noch obriger Regel [mm] ableiten.(x^1; [/mm] 1 nach vorne;1*6=6;Exponent um -1 verringern ergibt [mm] x^0; [/mm] x fällt also weg)
Hoffe das war so anschaulich genug 
Was Verkettungen, Quotientenreg etc. betifft müsstw ich was weiter ausholen.
Viele Grüße Benno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo alle zusammen!
Hi.
> Ich fänd das total super, wenn mir mal jemand erklären
> könnte wie man Funktionen ableitet. Wie z.B. [mm]f(x)=(3x+5)^2[/mm]
>
> Ich war jetzt in der 11 als Austauschschüler in den USA und
> hab anscheinend einiges verpasst. Jetzt hab ich LK Mathe
> und dann noch als erste Jahrgangsstufe Zentralabi und ich
> versteh nur Bahnhof. woher weiss man z.B., dass f(x)= 6x+2
> die Ableitung f'(x)=6 hat...????
>
> Ich bin echt total verzweifelt und würde mich sehr über
> Erklärungen freuen!!!
>
> Danke schon im Voraus
>
> Liebe Grüße
> Jezzy
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Um einige Begrifflichkeiten zu klären, die dir bei der Ableitung helfen, solltest du dir in erster LinieAbleitungsregeln durchlesen
Zu den angesprochenen Ableitungsverfahren: Summenregel&Kettenregel
Das sollte dir zumindest helfen, selbstständig die ansgeprochenen Themen nachzuarbeiten oder nachzuschlagen.
Grüsse Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 So 11.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ergänzend möchte ich noch einen Link geben, aber vorher noch eine Kleinigkeit ergänzen:
Also für einzelne Funktionen wie [mm] x^n [/mm] oder cos(x) oder so gibt es eine Reihe von Ableitungen, die man wissen sollte - vielleicht interessieren dich nicht die Herleitungen, aber du solltest zumindest wissen, wie denn die Ableitung davon ist.
Als nächstes betrachtet man zusammengesetzte Funktionen, da gibt es im Wesentlichen fünf Fälle:
1) Summe zweier Funktionen : y(x) = u(x)+v(x) , dann ist y' = u' + v'
2) Faktoriesierte Funktion : y(x)=c*u(x) , wobei c eine Konstante ist, dann ist y'=c*u'
3)  Produktregel : y(x)=u(x)*v(x)
4) Quotientenregel : [mm] y(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}
[/mm]
5) Kettenregel : y(x)=u( v(x) ) (also ein Funktion ist in der anderen enthalten - wie bei [mm] $\wurzel{x^3}$)
[/mm]
Wenn du diese vier Regeln und die entspr. Ableitungen kennst, dann kannst du auch zusammengesetzte Ausdrücke ableiten, wie zum Beispiel:
[mm] $x^4+5*\cos(x)=u(x)+5*v(x)$ [/mm] mit [mm] u(x)=x^4 [/mm] und v(x)=cos(x)
für eine schnelle Übersicht (auch für die einzelnen Funktionen) empfehle ich ein ![[]](/images/popup.gif) Tafelwerk (siehe "Ableitungsregel")
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 So 11.09.2005 | | Autor: | JessiHol |
Hallo an alle....ich versteh einfach nicht wozu man Ableitungen berechnet und warum. Ich war in der 11 in den USA und bin jetzt im Mathe LK.
Wenn man z.b. Aufgaben hat wie
f(x)= (1/3 [mm] x+2)^2
[/mm]
oder
f(x)= [mm] 3/(5-t)^2
[/mm]
Kann mir das mal bitte bitte einer erklären...bald sind die Klausuren und ich hab keine Ahnung!!!!
Danke schonmal im voraus
Liebe Grüße
Jezzy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 11.09.2005 | | Autor: | Disap |
Servus.
> Hallo an alle....ich versteh einfach nicht wozu man
> Ableitungen berechnet und warum. Ich war in der 11 in den
> USA und bin jetzt im Mathe LK.
Wie man ableitet, haben wir ja bereits in deiner gestrigen Frage geklärt. Daher ist deine Frage nun, was die Ableitungen bezwecken?
Erste Ableitung f'(x) ermittelt die Steigung in einem Punkt. Das ist wichtig für Kurvendiskussionen, da z.B. das Extremum, ein besonders wichtiger Punkt der Funktion, ermittelt werden kann. Ein Extremum ist ein Punkt mit der Steigung Null (notwendige Bedingung).
Die zweite Ableitung ermittelt das Krümmungsverhalten. Daher ist die zweite Ableitung auch typisch zu der Ermittlung der Wendepunkte.
> Wenn man z.b. Aufgaben hat wie
>
> f(x)= (1/3 [mm]x+2)^2[/mm]
>
> oder
>
> f(x)= [mm]3/(5-t)^2[/mm]
>
Das scheint mir jetzt ein wenig hochgegriffen. Nehmen wir zunächst für die Steigung ein einfacheres Beispiel, und zwar bezüglich Geraden.
Du kennst sicherlich die allgemeine Form
y= mx+b
(Dafür gibt es auch andere Schreibweisen wie: y=mx+c)
Jedenfalls nehmen wir ein konretes Beispiel:
y=3x+4
Unser m ist in diesem Fall die Steigung und unser b der Schnittpunkt mit der Y-Achse.
Eine andere Schreibweise für die selbe Gerade wäre:
g(x)=3x+4
und nun zu dem Punkt, worauf ich hinaus möchte. Die Gerade hat immer die selbe Steigung, in jedem Punkt - nämlich die von 3. Um nun zu gucken, welche Steigung sie in der Stelle x=2 hat, bilden wir die Ableitung.
g'(x)=3
g'(2)=3 => Ergo ist hier die Steigung von drei. Und zwar durchgehend, da durch die Ableitung das x eliminiert wurde. Diese Erkenntnis stimmt mit unserem Wissen überein.
Natürlich macht es mehr Sinn, Ableitungen f(x) = [mm] x^2 [/mm] zu bilden, um nun zu gucken, wie die Steigung an der Stelle x=2 ist, da die Steigung bei der Parabel nicht für jedes X gleich ist.
Möchte man bei der Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] das Extremum berechnen, setzt man die erste Ableitung gleich Null
f'(x) = 0
2x = 0 => Wo ist nun das Extremum bzw. der Scheitelpunkt. Eine rhetorische Frage....
Und um irgendwelche Wendestellen/punkte zu berechnen, setzt man die zweite Ableitung gleich Null
f''(x) = 0
Kurz gesagt ist der Wendepunkt, der Punkt, wo der Graph entweder von einer Rechts- in einer Linkskurve wechselt oder umgekehrt.
Die zweite Ableitung ist übrigens auch hinreichende Bedingung für das Extremum. Sagt dir das etwas?
Und dritte Ableitung hinreichende Bedingung für den Wendepunkt, allerdings hat die dritte Ableitung sonst keine weitere Aufgabe.
Achja, die in Fett markierten Begriffe solltest du auf jedenfall selbst noch einmal nachlesen, falls sie dir nichts sagen.
> Kann mir das mal bitte bitte einer erklären...bald sind die
> Klausuren und ich hab keine Ahnung!!!!
>
> Danke schonmal im voraus
>
> Liebe Grüße
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> Jezzy
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Schöne Grüsse Disap
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