Ableitung von Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 13.05.2009 | | Autor: | cauchy |
Hallo, eine ganz kurze Frage: In einer Aufgabe muss ich folgendes ableiten, bin mir aber nicht sicher wie ich mit den Grenzen des Integrals umgehen muss bzw. welchen Einfluss sie aufs Ableiten nehmen!
[mm] f(s)=\pi*\int_{0}^{s/\pi}{cos(\bruch{\pi*u^2}{2})du}
[/mm]
Dank Derive weiß ich schon, dass f'(s)= [mm] cos(\bruch{s^2}{2}) [/mm] ist.
Aber ich weiß nicht, wie man selber darauf kommt, könnte mir da jemand helfen!?
LG, cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, eine ganz kurze Frage: In einer Aufgabe muss ich
> folgendes ableiten, bin mir aber nicht sicher wie ich mit
> den Grenzen des Integrals umgehen muss bzw. welchen
> Einfluss sie aufs Ableiten nehmen!
>
> [mm]f(s)=\pi*\int_{0}^{s/\pi}{cos(\bruch{\pi*u^2}{2})du}[/mm]
>
> Dank Derive weiß ich schon, dass f'(s)= [mm]cos(\bruch{s^2}{2})[/mm]
> ist.
> Aber ich weiß nicht, wie man selber darauf kommt, könnte
> mir da jemand helfen!?
substituiere zunächst [mm] $$z=z(u)=\pi*u\,,$$
[/mm]
dann folgt mit Integration durch Substitution (beachte: $u=0 [mm] \gdw z=z(0)=0\,,$ $u=s/\pi \gdw z=z(s/\pi)=s$ [/mm] und [mm] $dz=\pi\,du$)
[/mm]
[mm] $$f(s)=\pi*\int_{z(0)}^{z(s/\pi)} \cos\Big(\frac{\pi}{2}*\frac{z^2(u)}{\pi^2}\Big)\;\frac{dz}{\pi}=\int_0^s \cos\big(z^2/(2\,\pi)\big)\;dz\,.$$
[/mm]
Mit dem ![[]](/images/popup.gif) HDI folgt dann
[mm] $$f\!\,'(s)=\cos\Big(\frac{s^2}{2\,\pi}\Big)\,.$$
[/mm]
P.S.:
Wenn Du Dich oben verschrieben hast, und es um
[mm] $$f(s)=\pi*\int_{0}^{s/\pi}{cos\Big(\bruch{\blue{(\pi u)^2}}{2}\Big)du}=\pi*\int_{0}^{s/\pi}{cos\Big(\bruch{\blue{\pi^2}*u^2}{2}\Big)du}$$
[/mm]
gegangen ist, dann erhälst Du vollkommen analog natürlich die von Derive behauptete Formel
[mm] $$f'(s)=\cos(s^2/2)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mi 13.05.2009 | | Autor: | cauchy |
Vielen Dank! Auf die Substitution wär ich nie gekommen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Do 14.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank! Auf die Substitution wär ich nie gekommen!
naja, vielleicht auch noch eine Alternative Variante, die hier auch gegangen wäre:
Es war
[mm] $$f(s)=\pi\cdot{}\int_{0}^{s/\pi}{cos(\bruch{\pi\cdot{}u^2}{2})du}\,.$$
[/mm]
Betrachte nun [mm] $g(s):=\pi*s\,.$ [/mm] Dann gilt
$$(f [mm] \circ g)(s)=\pi*\int_0^s \cos(\pi*u^2/2)\,du\,.$$
[/mm]
Nach dem HDI gilt auch hier wieder
$$(f [mm] \circ g)'(s)=\pi*\cos(\pi*s^2/2)\,.$$
[/mm]
Mit der Kettenregel folgt zudem
$$(f [mm] \circ g)'(s)=f'(g(s))*g'(s)=f'(g(s))*\pi\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$f'(g(s))=\cos(\pi^2*s^2/(2\,\pi))=\cos(g(s)/(2\,\pi))\,.$$
[/mm]
Das liefert hier auch [mm] $f'(g)=\cos(g/(2\,\pi))\,,$ [/mm] wobei man dabei aber für die letzte Folgerung noch eine genauere Begründung anführen sollte (z.B., dass $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] surjektiv ist).
Gruß,
Marcel
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