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| Aufgabe | Geg: f(x)=(x-1)*Wurzel aus x
a) Bestimmen Sie Nullstellen N1 und N2.
b) Welche Steigung haben die Tangenten an das Schaubild in den Punkten N1 und N2?
c) In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waaagerechte Tangente?
d) Skizzieren Sie das Schaubild von f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Leider kapier ich die Aufgabe nicht! Habs versucht, komme aber nur auf eine Nullstelle und f'(x)=0 bei mir und das kann ja nicht ein!
Könnt ihr mir helfen?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Disap |
> Geg: f(x)=(x-1)*Wurzel aus x
> a) Bestimmen Sie Nullstellen N1 und N2.
> b) Welche Steigung haben die Tangenten an das Schaubild in
> den Punkten N1 und N2?
> c) In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine
> waaagerechte Tangente?
> d) Skizzieren Sie das Schaubild von f.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen!
Hallo.
> Leider kapier ich die Aufgabe nicht! Habs versucht, komme
> aber nur auf eine Nullstelle
Das Ding hat aber zwei.
Es gibt den Satz vom Nullprodukt, der besagt, ein Produkt wird Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null wird.
Du betrachtest ganz allgemein:
[mm] $0=\red{(x-1)}*\blue{\wurzel{x}}
[/mm]
So, nun sind unsere beiden Faktoren (nach dem Satz vom Nullprodukt) eben das Wurzel x und der rote Term. Du musst nun eine Nebenrechnung betrachten bzw. sogar zwei:
$x-1 = 0$ Hieraus ergibt sich die erste Nullstelle.
[mm] $\wurzel{x} [/mm] = 0$ Hieraus ergibt sich die zweite Nullstelle.
>und f'(x)=0 bei mir und das
> kann ja nicht ein!
???
Das ist völlig unverständich.
Aber der Themenüberschrift kann ich entnehmen, dass du ein Problem hast mit dem Ableiten von Produkten.
> Könnt ihr mir helfen?
Die Produktregel lautet doch:
$f(x) = u*v$
$f'(x) = u'*v+v'*u$
Unser u ist (man kanns auch v nennen)
$u = x-1$
Das abgelitten ergibt
$u'=1$
Nun haben wir noch das v
[mm] $v=\wurzel{x}$
[/mm]
Hilft uns wenig weiter...Nach den Potenzregeln gilt jedoch [mm] $\wurzel{x}=x^{\br{1}{2}} [/mm] = [mm] x^{0.5}$
[/mm]
Somit lautet unser v
[mm] $v=x^{0.5}$
[/mm]
Kannst du das selbstständig ableiten?
WEnn du das gemacht hast, musst du nur noch in die Fertigformel ($f'(x) = u'*v+v'*u$) einsetzen und vielleicht vereinfachen. Das ist nicht zwingend notwendig, aber gerne gesehen.
>
> Danke!
Bei Fragen meld' dich noch einmal!
Gruß
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:17 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Thomasito |
Hallo.
Danke!
Ich verstehe die Nullstellen nicht ganz. Wieso ist das so?
Und wie lauten die restlichen Antworten (also b und c)?
Danke!
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo.
Moin.
> Danke!
>
> Ich verstehe die Nullstellen nicht ganz. Wieso ist das so?
Was denn nicht?
Ich setze mal an den 'Gleichungen' aus meiner ersten Antwort an:
$ x-1 = 0 $ Hieraus ergibt sich die erste Nullstelle.
$ x-1 = 0 $
Das müssen wir nach x auflösen. Wir müssen die -1 also auf die rechte Seite bekommen. Und das schaffen wir, indem wir beide Seiten mit +1 erweitern.
$ x-1+1 = +1 $
$-1+1$ ist Null, es ergibt sich also
$x+0 = +1$
Das ist dasselbe wie
$x = +1$
So lautet also unsere erste Nullstelle [mm] x_1=\red{1}
[/mm]
$ [mm] \wurzel{x} [/mm] = 0 $ Hieraus ergibt sich die zweite Nullstelle.
$ [mm] \wurzel{x} [/mm] = 0 $
Hier können wir die Lösung schon ablesen, dass diese Gleichung für x=0 erfüllt ist. Wir können es aber mathematischer machen, indem wir quadrieren:
$ [mm] (\wurzel{x})^2 [/mm] = [mm] 0^2 [/mm] $
das ergibt
$x=0$
Unsere zweite Nullstelle lautet also [mm] x_2=0
[/mm]
Und um dir zu zeigen, wie das mit dem Satz vom Nullprodukt funktioniert, setze ich die Lösung [mm] x_1=\red{1} [/mm] einmal in unsere Funktion ein.
$ f(x) [mm] =(x-1)\cdot{}\wurzel{x} [/mm] $
[mm] $f(\red{1}) [/mm] = [mm] (\underbrace{\red{1}-1}_{=\green{0}} )\cdot{}\wurzel{\red{1}} [/mm] $
Da 1-1 Null ergibt, folgt daraus
[mm] $f(\red{1}) [/mm] = [mm] (\green{0} )\cdot{}\wurzel{1} [/mm] $
Null mal Wurzel 1...oder Null mal eine Million ist immernoch Null, das Ergebnis ist also
$f(1) = [mm] 0*\wurzel{1}=0$
[/mm]
Somit ist [mm] $x_1=1$ [/mm] eine Nullstelle (selbiges gilt für [mm] $x_2=0$
[/mm]
> Und wie lauten die restlichen Antworten (also b und c)?
Für Aufgabe b und c brauchst du die erste Ableitung, wie lautet diese denn?
Bei Aufgabe b musst du in die erste Ableitung die Nullstellen einsetzen (im Prinzip dasselbe wie meine Probe mit dem Einsetzen von [mm] x_1=1, [/mm] nur setzt du das in die erste Abkeitung ein). Das Ergebnis, was dort herauskommt, ist die Lösung.
Aufgabe C ist äquivalent zur Aufgabe A. Du musst die erste Ableitung gleich-Null-setzen und nach x auflösen.
So, und jetzt bist du dran mit eigener Arbeit. Das Forum ist keine Hausaufgabenlösungsmaschine.
> Danke!
> Thomas
MfG!
Disap
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:37 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Thomasito |
???
Ich dachte, bei der b) muss man f'(x) gleich 0 setzen...
Ich versteh das einfach nicht...
f'(x)=1*(1/2*Wurzel x)-(1/2*Wurzel x) = 0 oder?
Danke!
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Disap |
> ???
>
> Ich dachte, bei der b) muss man f'(x) gleich 0 setzen...
Nein. Das musst du bei c machen.
Bei Aufgabe b sollst du die "Steigung" ermitteln. Die Steigung in den Nullstellen, und die ist in diesem Falle nicht Null.
Aufgabe b ist $f'(1) = ??$ sowie $f'(0) = ??$
> Ich versteh das einfach nicht...
> f'(x)=1*(1/2*Wurzel x)-(1/2*Wurzel x) [mm] \red{= 0} [/mm] oder?
Also das =0 hat da nichts zu suchen. Das kommt erst bei Aufgabe c.
Ansonsten ist das leider auch nicht richtig. Es muss heissen:
$f'(x) = [mm] 1*\wurzel{x}+(x-1)*\br{1}{2}*\br{1}{\wurzel{x}}$
[/mm]
$= [mm] \wurzel{x}+\br{x-1}{2\wurzel{x}}= \br{\wurzel{x}*\wurzel{x}}{\wurzel{x}}+\br{0.5x-0.5}{\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \br{x}{\wurzel{x}}+\br{0.5x-0.5}{\wurzel{x}}=\br{1.5x-0.5}{\wurzel{x}}$
[/mm]
> c) In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waaagerechte Tangente?
Waagerechte Tangente = Extrempunkt = Punkt mit der Steigung Null, sprich f'(x) = 0
> Danke!
> Thomas
LG
Disap
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Sorry, kapiers immer noch nicht...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Disap |
> Sorry, kapiers immer noch nicht...
Was denn genau?
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Ich kapier nicht warum ich das so machen muss...
Ich verstehe auch nicht wie du die Ableitung f'(x) gebildet hast, bei mir kommt 0 raus...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Disap |
> Ich kapier nicht warum ich das so machen muss...
Warum du was so machen musst? Das mit den Nullstellen: Satz vom Nullprodukt? Das ist das Kochrezept. Das musst du dir einfach hinter die Ohren schreiben. Du musst es so nicht machen, aber welche Alternative kennst du? Das ist die eleganteste und einfachste Möglichkeit.
Oder redest du von den Aufgabenstellungen? Dann hast du ein Problem mit den Begrifflichkeiten. Analysieren wir einmal den Aufgabentext von Aufgabe A bis C.
a) Bestimmen Sie Nullstellen N1 und N2.
Soweit ganz logisch. Die Nullstellen der Funktion sind dort, wo der Graph die X-Achse schneidet - nämlich dort, wo der Y-Wert Null beträgt. Die Nullstelle hat also die Form N1(irgendein X-Wert|0). Die Null ist unser Y-Wert - der ist immer Null bei der sogenannten Nullstelle.
b) Welche Steigung haben die Tangenten an das Schaubild in den Punkten N1 und N2?
"Welche Steigung hat die Tangente in dem Punkt N1". So könnte die Frage auch lauten. N1 haben wir gerade eben in der Aufgabe A berechnet. Die Frage ist nun nach der Steigung im Punkt N1. Somit interessiert uns in Aufgabe B nicht die Extrempunkte (die ja die Steigung Null haben), sondern die Steigung der Nullstellen. Extrempunkte sind etwas völlig anderes als die Nullstellen. Der Aufgabentext sagt dir schon, dass du mit den Nullstellen N1 weiterrechnen sollst. Denn dort steht ja, wie ist die Steigung im Punkt N1.
Du solltest hierbei immer im Hinterkopf haben, um die Steigung in irgendeinem Punkt zu berechnen, brauchst du die erste Ableitung. Die erste Ableitung gibt stumpf die Steigung in einem Punkt an.
f'(irgendein X-Wert eines Punktes) = Steigung in dem Punkt
Du setzt den X-Wert (in unserem Beispiel war das u. a. die eins) in die Ableitung ein und erhälst die Steigung. Die KANN Null sein, muss aber nicht. Sagen wir einfach mal, wir erhalten den Wert 10. Dann heisst das, dass in dem Punkt eben die Steigung 10 vorhanden ist.
Wir könnten nun aber genau umgekehrt fragen, "in welchem Punkt ist die Steigung gleich 10?"
Dann würden wir die erste Ableitung mit 10 gleichsetzen
f'(x) = 10
Das ist ähnlich wie bei den Extremstellen, wo die Steigung allerdings nicht Zehn ist, sondern Null.
Du musst also unterscheiden können zwischen den Fragestellungen:
- wo sind die Extrempunkte?
- welche Steigung ist in einem Punkt?
c) In welchem Punkt hat das Schaubild von f eine waaagerechte Tangente?
Eine ganz häßliche Fragestellung, nur um den Schülern eine Lampe zu bauen... Die Frage heißt eigentlich nur: "Geben Sie die Extrempunkte an" Das ist wie vokabellernen.
Eine Tangente hat immer etwas mit der Steigung in einem Punkt zu tun. In diesem Fall ist die Steigung waagerecht. Und auch das musst du 'auswendiglernen' (das empfehle ich dir zumindest), waagerechte Tangente bedeutet so viel wie: Steigung Null.
Eine waagerechte Tangente steht also im Zusammenhang mit der Steigung. Was brauchst du dafür?
Du benötigst dafür die erste Ableitung.
Nun haben wir eine waagerechte Tangente. Eine waagerechte Tangente ist eine Gerade, die parallel zur X-Achse verläuft. Quasi sieht sie so aus wie dieser Strich:
Eben 'waagerecht'.
Wenn du dort das Steigungsdreieck einzeichnen würdest, erkennst du, dass es dort keine Steigung gibt -> also Steigung Null.
Die Steigung Null ist charakteristisch für deine Lieblingspunkte, die Extrempunkte.
Somit gilt hier die mathematische Fragestellung:
$f'(x) = 0$
> Ich verstehe auch nicht wie du die Ableitung f'(x)
> gebildet hast, bei mir kommt 0 raus...
Nein.
Als Ableitung kann nicht Null herauskommen. Vielleicht, wenn du schon Werte eingesetzt hast, dann ja, das habe ich nicht geprüft. Ich denke mal, dass auch du soweit noch nicht bist.
In erster Linie sehen Ableitungen so aus:
f(x) = [mm] x^3
[/mm]
f'(x) = [mm] 3x^2
[/mm]
f''(x) = 6x
f'''(x) = 6
So und nicht anders. Erst in der nächsten Zeile darfst du sie gleich Nullsetzen. Ansonsten könnte dein Lehrer dir da eiskalt Punkte für abziehen.
> Ich verstehe auch nicht wie du die Ableitung f'(x)
> gebildet hast,
Da muss ich zugeben, ist mir etwas dazwischen gekommen, sodass ich mit Erklärungen relativ sparsam war.
Ich kopiere mal alles zusammen. Bei Rückfragen kannst du ja die entsprechenden 'Sachen' noch einmal als Frage hineinkopieren.
Du hast eine Funktion, $f(x) = [mm] (x-1)\cdot{}\wurzel{x} [/mm] $
So, nun gibt es die Produktregel, die dir vordefiniert, dass die Funktion f(x) aus einer Funktion u(x) und einer Funktion v(x) besteht
Ohne Zahlen bedeutet die Funktion $f(x) = [mm] \red{(x-1)}\cdot{}\blue{\wurzel{x}} [/mm] $ nur: $f(x) = [mm] \red{u(x)} [/mm] * [mm] \blue{v(x)}$. [/mm]
Um wertvolle Lebenszeit einzusparen und die Aufnahmekapazität der Schüler nicht zu gefährdern, sagen Mathematiker dazu auch einfach nur:
$f(x) = [mm] \red{u} [/mm] * [mm] \blue{v}$.
[/mm]
u und v, das kann man sich doch einfach merken. Und selbst wenn nicht, schreib es dir in deine Formelsammlung. Sofern es erlaubt ist, dort etwas hineinzuschreiben, dann kannst du das machen, denn es handelt sich nicht um konkrete Rechnungen. Ansonsten kannst du zu deiner Sicherheit natürlich noch einmal mit deinem Lehrer darüber reden.
Wir haben also die Funktion
$f(x) = [mm] \red{u} [/mm] * [mm] \blue{v}$
[/mm]
Nun gebe ich dir einfach die Fertigformel, die auch die entsprechende Ableitung definiert:
$f'(x) = u' *v + v' *u$
So, und nun fange ich an zu kopieren
Unser u ist (man kanns auch v nennen)
$ u = x-1 $
Das abgelitten ergibt
$ u'=1 $
Nun haben wir noch das v
$ [mm] v=\wurzel{x} [/mm] $
Hilft uns wenig weiter...Nach den Potenzregeln gilt jedoch $ [mm] \wurzel{x}=x^{\br{1}{2}} [/mm] = [mm] x^{0.5} [/mm] $
Somit lautet unser v
$ [mm] v=x^{\green{0.5}} [/mm] $
Wie du schon richtig abgelitten hast (oder doch nicht?):
[mm] $v'=\green{0.5}*x^{0.5-1}= 0.5*x^{\red{-}0.5}=\br{0.5}{x^{\red{+}0.5}$
Ich zaubere nun etwas herum: x^{0.5} ist nach den Potenzgesetzen dasselbe wie \wurzel{x}, 0.5 dasselbe wie \br{1}{2}
$v'=\br{1}{2}{1}{\wurzel{x}}$
Nun haben wir also zusammengefasst:
$ u = \red{x-1} $
$ u'= 1 $
$ v=\blue{\wurzel{x}}} [/mm] $
[mm] $v'=\green{\br{1}{2\wurzel{x}}}$
[/mm]
Noch einmal unsere Fertigformel zum Ableiten:
$f'(x) = u' [mm] *\blue{v} [/mm] + [mm] \green{v'} *\red{u}$
[/mm]
Nun einsetzen:
$ f'(x) = [mm] 1\cdot{}\blue{\wurzel{x}}+\green{\br{1}{2}\cdot{}\br{1}{\wurzel{x}}}*\red{(x-1)} [/mm] $
Das grüne hier in der Formel ist natürlich genau dasselbe wie ich das noch eine Zeile vorher hatte. Ist klar, oder?
Nun vereinfachen wir, das rote multiplizieren wir mit dem grünen, dann ergibt sich folgendes:
$ = [mm] \wurzel{x}+\br{x-1}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
So, jetzt bist du fertig.
Da musst du in der Klausur nicht weiter vereinfachen, es sei denn, es ist gefordert. Nachher baust'e da noch Fehler ein. Aber das wird sich schwer auflösen lassen bei Aufgabe C. Also vereinfachen wir weiter.
$ = [mm] \red{\wurzel{x}}+\br{x-1}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
Nun wollen wir daraus einen einzigen Bruch machen. Der Hauptnenner ist [mm] \wurzel{x}. [/mm] Also erweitern wir den ersten (roten) Bruch mit [mm] \green{\br{\wurzel{x}}{\wurzel{x}}}.
[/mm]
[mm] $=\wurzel{x}\cdot{}\green{\br{\wurzel{x}}{\wurzel{x}}}+\blue{\br{0.5x-0.5}{\wurzel{x}} }$
[/mm]
Was ist mit dem blauen passiert? Ganz einfach, wir hatten doch [mm] $\br{\green{x-1}}{\green{2}\wurzel{x}}$
[/mm]
Das Grüne 'kürzen' wir einfach weg. x geteilt durch 2 ergibt 0,5x. Richtig?
-1 geteilt durch 2 ergibt -0,5. Und nun sieh dir den Bruch noch einmal an. Nun klar geworden?
Der Rest wird wieder leichter.
[mm] $=\wurzel{x}\cdot{}\br{\wurzel{x}}{\wurzel{x}}+\br{0.5x-0.5}{\wurzel{x}} [/mm] $
Wir haben nun [mm] \wurzel{x}*\wurzel{x}. [/mm] Nach den Potenzgesetzen ist das dasselbe wie [mm] (\wurzel{x})^2 [/mm] = x. Bleibt also nur noch das wurzel x im Nenner.
Wir haben nun da stehen:
[mm] $=\br{\red{1x}}{\wurzel{x}}\red{+}\br{\red{0.5x}-0.5}{\wurzel{x}}$
[/mm]
Das addieren wir nun noch zusammen, und:
[mm] =\br{1.5x-0.5}{\wurzel{x}} [/mm] $
fertig.
So, ich hoffe, dass du ein bisschen gelernt hast.
>
Schöne Grüße
Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 09.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
Du musst in der b) die ableitung nicht =0 setzen das kommt in c), sondern N1 und N2, welche du ja in a) berechnet hast, in die Ableitung einsetzen.
GW 11.Klasse (!!!) zumindest bei uns in Bayern
Solltest dir Ableitungen nochmal sehr genau anschauen sonst kriegst im LK massive Probleme. Ohne ableiten keine Analysis, und dann wirst auch mit Integrieren Schwierigkeiten bekommen.
^^das soll jetzt ned beleidigend oder so sein, sondern nur eine Warnung
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Das Problem ist aber das die Ableitung bei mir 0 ergibt.
Wenn ich f'(x) = 0 setzen würde wäre es: 0=0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 09.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
Die abbleitung wird aber nicht null !!!
Ich kann hier auch nur das
$ f'(x) = [mm] 1\cdot{}\wurzel{x}+(x-1)\cdot{}\br{1}{2}\cdot{}\br{1}{\wurzel{x}} [/mm] $
$ = [mm] \wurzel{x}+\br{x-1}{2\wurzel{x}}= \br{\wurzel{x}\cdot{}\wurzel{x}}{\wurzel{x}}+\br{0.5x-0.5}{\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \br{x}{\wurzel{x}}+\br{0.5x-0.5}{\wurzel{x}}=\br{1.5x-0.5}{\wurzel{x}} [/mm] $
sowie die Produktregel zitieren
$ f(x) = [mm] u\cdotv [/mm] $
$ f'(x) = [mm] u'\cdot v+v'\cdot [/mm] u $
da dies die gesammte Sache genauestens darlegt
ich kanns höchstens nochmal so schreiben:
(x-1)*Wurzel aus x
$f'(x) = [mm] (x-1)'\cdot{}\wurzel{x}+(x-1)\cdot{}\wurzel{x}'$
[/mm]
$(x-1)'= 1$ da x abgeleitet = 1 und eine constante abgeleitet = 0 ergibt
[mm] $\wurzel{x}'=(x^{0,5})' [/mm] = 0,5 * [mm] x^{0,5-1} [/mm] = 0,5 * [mm] \frac{1}{x^{0,5}} [/mm] = 0,5 [mm] *\frac{1}{\wurzel{x}}$
[/mm]
Ab hier siehe bitte oben.
Ich hoffe das dein Problem damit geklärt ist. Und lern Ableiten(!!!), man könnte annehmen du machst das zum ersten mal. Du bist doch LK!!!
Falls ihr das wirklich erst jetzt in der 12. gelernt habt dann entschuldige ich mich hiermit für meinen etwas scharfen Ton.
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