Ableitung von Quotienten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Die Konzentration eines Medikamentes (in [mm] mg/cm^3) [/mm] im But eines Patienten lässt sich durch die Funktion K mit K (t) = [mm] \bruch{0,16t}{(t+2)^2} [/mm] beschreiben. (t = Zeit in h seit der Medikamenteneinname).
a.) Berechnen sie die anfängliche Änderungsrate der Konzentration und vergleichen sie diese mit der mittleren Änderungsrate in den ersten 6 Minuten.
b.) Wann ist die Konzentration am höchsten? Wie groß ist die maximale Konzentration? Wann ist die konzentration nur noch halb so hoch? |
a. )
Die mittlere Änderungsrate im Intervall [mm] [0,\bruch{1}{10}] [/mm] dafür gilt :
[mm] \bruch{f(\bruch{1}{19})-f(0)}{\bruch{1}{10}-0}
[/mm]
m = 0,3628
Die mittlere Änderungsrate beträgt demnach ungefähr 0,3628.
Die anfängliche Änderungsrate (Punktuell) am Punkt 0.
K'(0) = m
Mein GTR zeigt mir dann an f'(0) = 0,04
Also ist die anfängliche Änderungsrate 0,04.
b.)
K'(t) = 0 ; dort liegt ein mögliches maximum vor.
Mit dem Taschenrechner habe ich das gar nicht hinbekommen, der zeigt mir irgendwie keine Nullstellen in der Ableitung an. Hab es dann "zu Fuß" gemacht, und die Ableitung K'(t) lautet :
K'(t) = [mm] \bruch{-16t+0,32}{(t+2)^3}
[/mm]
Nun setze ich den Zähler 0 und erhalten als mögliche Extremstelle t = 2
Um zu Überprüfen ob dies ein Maximum ist, brauche ich K''(t).
K''(t) muss ungleich 0 und vorallem kleiner 0 sein, damit ein Maximum vorliegt.
K''(t) = [mm] \bruch{-64t-1,28}{(t+2)^7}
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher, bei der Potenz im Nenner. Aber naja.
Wenn ich nun in K''(2) einsetze erhalte ich ein negatives Ergebnis.
Also muss an der Stelle 2 ein Maximum vorliegen.
Nun weiß ich nicht, weiter.
Wie erkenne ich denn wie die Maximale konzentration ist. Und den anderen Teil der Aufgabe verstehe ich auch nicht.
Wäre lieb wenn ihr mir da helfen könntet.
MFG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mo 09.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Kristof
> Die Konzentration eines Medikamentes (in [mm]mg/cm^3)[/mm] im But
> eines Patienten lässt sich durch die Funktion K mit K (t) =
> [mm]\bruch{0,16t}{(t+2)^2}[/mm] beschreiben. (t = Zeit in h seit der
> Medikamenteneinname).
> a.) Berechnen sie die anfängliche Änderungsrate der
> Konzentration und vergleichen sie diese mit der mittleren
> Änderungsrate in den ersten 6 Minuten.
> b.) Wann ist die Konzentration am höchsten? Wie groß ist
> die maximale Konzentration? Wann ist die konzentration nur
> noch halb so hoch?
> a. )
>
> Die mittlere Änderungsrate im Intervall [mm][0,\bruch{1}{10}][/mm]
> dafür gilt :
>
> [mm]\bruch{f(\bruch{1}{10})-f(0)}{\bruch{1}{10}-0}[/mm]
>
> m = 0,3628
falsche Kommastelle 0,036... ist richtig
> Die mittlere Änderungsrate beträgt demnach ungefähr 0,3628.
>
> Die anfängliche Änderungsrate (Punktuell) am Punkt 0.
>
> K'(0) = m
>
> Mein GTR zeigt mir dann an f'(0) = 0,04
> Also ist die anfängliche Änderungsrate 0,04.
Da du ja K' sowieso ausrechnest solltest du da t=0 einsetzen! aber 0,04 ist richtig!
>
> b.)
>
> K'(t) = 0 ; dort liegt ein mögliches maximum vor.
> Mit dem Taschenrechner habe ich das gar nicht hinbekommen,
> der zeigt mir irgendwie keine Nullstellen in der Ableitung
> an. Hab es dann "zu Fuß" gemacht, und die Ableitung K'(t)
> lautet :
>
> K'(t) = [mm]\bruch{-0,16t+0,32}{(t+2)^3}[/mm]
hab aus 16 0,16 gemacht!
> Nun setze ich den Zähler 0 und erhalten als mögliche
> Extremstelle t = 2
richtig!
> Um zu Überprüfen ob dies ein Maximum ist, brauche ich
> K''(t).
richtig so, aber da k [mm] \ge [/mm] 0 und für t=0 K=0 und für große t K gegen 0 geht muss es ein Max sein auch ohne K''!
> K''(t) muss ungleich 0 und vorallem kleiner 0 sein, damit
> ein Maximum vorliegt.
>
> K''(t) = [mm]\bruch{-64t-1,28}{(t+2)^7}[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht sicher, bei der Potenz im Nenner.
> Aber naja.
>
> Wenn ich nun in K''(2) einsetze erhalte ich ein negatives
> Ergebnis.
> Also muss an der Stelle 2 ein Maximum vorliegen.
richtig
> Nun weiß ich nicht, weiter.
> Wie erkenne ich denn wie die Maximale konzentration ist.
die max. Konzentration ist die im maximum, also K(2)!
> Und den anderen Teil der Aufgabe verstehe ich auch nicht.
Wenn du die Zahl K(2) ausgerechnet hat suchst du die Zeit t wo K(t)=K(2)/2 ist! nach t auflösen, du kriegst ne quadr. Gleichung, eine Lösung vor 2 eine nach 2!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Kristof |
> > Wie erkenne ich denn wie die Maximale konzentration ist.
> die max. Konzentration ist die im maximum, also K(2)!
> > Und den anderen Teil der Aufgabe verstehe ich auch
> nicht.
> Wenn du die Zahl K(2) ausgerechnet hat suchst du die Zeit
> t wo K(t)=K(2)/2 ist! nach t auflösen, du kriegst ne quadr.
> Gleichung, eine Lösung vor 2 eine nach 2!
Ich weiß,
ist schon bisschen länger her, aber da wir nächste Woche die Klausur schreiben, versuche ich dir Aufgabe nochmal zu machen.
Komme irgendwie wieder nicht richtig weiter.
Habe das gemacht was du gesagt hast.
0,1 = [mm] \bruch{0,16t}{(t+2)^2} [/mm] | [mm] (t+2)^2
[/mm]
0,1 * [mm] (t^2 [/mm] + 4t + 4) = 0,16tt
[mm] 0,1t^2 [/mm] + 0,4t + 0,4 = 0,16t
Nun komme ich irgendwie nicht weiter,
bzw. weiß ich nicht wie ich weiter machen muss?
Naja, danke für eure Hilfe.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Sa 02.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
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> > > Wie erkenne ich denn wie die Maximale konzentration ist.
> > die max. Konzentration ist die im maximum, also K(2)!
> > > Und den anderen Teil der Aufgabe verstehe ich auch
> > nicht.
> > Wenn du die Zahl K(2) ausgerechnet hat suchst du die
> Zeit
> > t wo K(t)=K(2)/2 ist! nach t auflösen, du kriegst ne quadr.
> > Gleichung, eine Lösung vor 2 eine nach 2!
>
> Ich weiß,
> ist schon bisschen länger her, aber da wir nächste Woche
> die Klausur schreiben, versuche ich dir Aufgabe nochmal zu
> machen.
> Komme irgendwie wieder nicht richtig weiter.
>
> Habe das gemacht was du gesagt hast.
>
> 0,1 = [mm]\bruch{0,16t}{(t+2)^2}[/mm] | [mm](t+2)^2[/mm]
> 0,1 * [mm](t^2[/mm] + 4t + 4) = 0,16tt
> [mm]0,1t^2[/mm] + 0,4t + 0,4 = 0,16t
>
> Nun komme ich irgendwie nicht weiter,
> bzw. weiß ich nicht wie ich weiter machen muss?
> Naja, danke für eure Hilfe.
>
> MfG
> Kristof
Hallo Kristof
0,1t²+0,4t+0,4=0,16t
[mm] \gdw [/mm] 0,1t²+0,24t+0,4=0
[mm] \gdw [/mm] t²+2,4t+4=0
Und jetzt kannst du mit der p-q-Formel beide Nullstellen berechnen.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:21 So 03.12.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof
>
> 0,1t²+0,4t+0,4=0,16t
> [mm]\gdw[/mm] 0,1t²+0,24t+0,4=0
> [mm]\gdw[/mm] t²+2,4t+4=0
>
> Und jetzt kannst du mit der p-q-Formel beide Nullstellen
> berechnen.
>
> Marius
Ups, an die P/Q Formel hab ich gar nicht gedacht.
Klar das geht.
Aber da ist ja dann da nächste Problem :(
Denn ...
t²+2,4t+4=0
Nun angewand auf die P/Q Formel :
[mm] x_1_,_2 [/mm] : - 1,2 [mm] \pm \wurzel{(-1,2)^2 - 4}
[/mm]
Unter der Wurzel würde dann aber - 2,56 stehen, und unter eine Wurzel darf doch kein negatives Vorzeichen sein.
Was mache ich denn da falsch?
MfG
Kristof
Dankeschön
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Hallo Kristof!
> > 0,1t²+0,4t+0,4=0,16t
> > [mm]\gdw[/mm] 0,1t²+0,24t+0,4=0
> > [mm]\gdw[/mm] t²+2,4t+4=0
> >
> > Und jetzt kannst du mit der p-q-Formel beide Nullstellen
> > berechnen.
> >
> > Marius
>
> Ups, an die P/Q Formel hab ich gar nicht gedacht.
> Klar das geht.
> Aber da ist ja dann da nächste Problem :(
> Denn ...
>
> t²+2,4t+4=0
>
> Nun angewand auf die P/Q Formel :
>
> [mm]x_1_,_2[/mm] : - 1,2 [mm]\pm \wurzel{(-1,2)^2 - 4}[/mm]
>
> Unter der Wurzel würde dann aber - 2,56 stehen, und unter
> eine Wurzel darf doch kein negatives Vorzeichen sein.
> Was mache ich denn da falsch?
So weit ich das sehen kann, nichts. Kann es nicht sein, dass es keine Lösung gibt? Allgemein bei der PQ-Formel kann das ja sein, ich hab' mir jetzt nur nicht deine ganze Aufgabe durchgelesen...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 03.12.2006 | | Autor: | Kristof |
> So weit ich das sehen kann, nichts. Kann es nicht sein,
> dass es keine Lösung gibt? Allgemein bei der PQ-Formel kann
> das ja sein, ich hab' mir jetzt nur nicht deine ganze
> Aufgabe durchgelesen...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
Ich meine eigentlich das es eine Lösung gibt,
bin mir da aber nicht sicher.
Vielleicht kann sich ja jemand nochmal die ganze Aufgabe angucken ;)
Wäre jedenfalls lieb.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 03.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
Du hast leider einen falschen Ansatz gewählt.
Es gilt ja: [mm] $\bruch{1}{2}*K_{\max} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*K(2) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*0.02 [/mm] \ = \ [mm] 0.\red{0}1$
[/mm]
Damit muss es heißen: [mm] $0.\red{0}1 [/mm] \ =\ [mm] \bruch{0.16*t}{(t+2)^2}$
[/mm]
Also nochmal das Ganze ... 
Gruß
Loddar
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