Ableitung von Verkettungen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f eine differenzierbare Funktion mit f(x) > 0 für alle x E R.
Beweisen Sie: Eine Stelle x0 E R ist genau dann Maximalstelle von f, wenn sie eine Maximalstelle von g ist mit g(x) = Wurzel aus f(x). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Weiß jemand wie das gehen soll? Bin total verzweifelt, Ende November kommt die erste Klausur und ich kapiere gra nix in Mathe!"
Danke!
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 04.10.2006 | | Autor: | SLe |
Die Ableitung von g(x)=(f(x))^(1/2) ist:
g'(x)= 1/2 * 1/f(x)^(1/2) * f'(x) =
= ((1/2)f'(x)) / f(x)^(1/2)
Um Maximas zu finden: g'(x) = 0 setzen.
==> Zähler von g'(x) = 0
==> (1/2)f'(x) = 0
==> f'(x) = 0
Also suchst du mit der gleichen Gleichung nach Extremwerten von g(x) wie nach Extremwerten von f(x).
Also müssen auch die gleichen Extremwerte rauskommen.
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Sorry aber ich kapier das nicht so ganz: Was genau ist die Ableitung von g(x)?
g'(x)= 0,5*f'(x) ? Oder muss noch was dazu? Was ist im Zähler, was im nenner?
Danke!
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Aufgrund der  Kettenregel gilt für $g(x) \ = \ [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] \ = \ [mm] [f(x)]^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] :
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $g'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*[f(x)]^{-\bruch{1}{2}}*f'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f'(x)}{2*\wurzel{f(x)}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Okay, danke. Wenn ich nun die Ableitung habe, dann kommt ja raus: f'(x)=0.
Und wie gehts dann weiter?
Dake!
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 04.10.2006 | | Autor: | SLe |
Geht gar nicht mehr weiter. Die Extrempunkte erhält man ja, indem man die Ableitung gleich 0 setzt und nach x auflöst bzw die möglichen Werte für x berechnet, mit denen die Gleichung erfüllt ist. Wenn nun wie in diesem Fall die Ableitung von f(x) die gleiche wie die von g(x) ist, dann steht fest, daß beide Gleichungen die gleichen Extrempunkte und damit die gleichen Maxima haben. Damit ist die Aufgabe gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Thomasito |
Okay, danke für die Infos!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mi 04.10.2006 | | Autor: | SLe |
Hab grad noch was ausgebessert. Das hoch 1/2 wurde nicht so dargestellt wie ich dachte. Außerdem hatte ich 2 statt 1/2 als Faktor geschrieben.
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