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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung von Wurzeln
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Ableitung von Wurzeln: Ableitungen Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Fr 24.06.2005
Autor: martinmax1234

Hallo,

kann mir mal einer helfen. Ich habe keine ahnung wie ich die folgende Funktion  die erste Ableitung durchführe:
f(x) = -20x+53 mal die  Wurzel aus ( [mm] x^2+144) [/mm]
f(x) = [mm] -20x+53*\wurzel{x^2+144} [/mm]


Bitte um schnelle antwort.

mfg martinmax1234

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitung von Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:14 Fr 24.06.2005
Autor: Dreieck

Hi!

> kann mir mal einer helfen. Ich habe keine ahnung wie ich
> die folgende Funktion  die erste Ableitung durchführe:
>   f(x) = [mm]-20x+53*\wurzel{x^2+144}[/mm]

einfach umformen und mit der Potenzregel arbeiten - Kettenregel nicht vergessen, da innere Funktion!!! danach wierde in Wurzelschreibweise umformen.

[mm] f(x) = -20x + 53 * (x^2+144)^\frac{1}{2} [/mm]
durch Umformung sollte nun folgendes rauskomen:
[mm] f'(x) = -20 + \frac{53*2*x}{2*\wurzel{x^2+144}} [/mm]

am besten noch den Faktor 2 kuerzen

alles klar?

lG
Peter

Bezug
                
Bezug
Ableitung von Wurzeln: Besipiel dazu
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Fr 24.06.2005
Autor: martinmax1234

Könntest du mir mal das einmal ausführlich zeigen wie es funktioiert mit der Potenzregel  und Ketteregel?
Wäre dir wirklich sehr dankbar.

m
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Bezug
Ableitung von Wurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Fr 24.06.2005
Autor: Mehmet

Hi Martinmax,

Also ich hoffe es macht dir nix aus wenn ich dir versuche zu helfen.

Nun wie du wahrscheinlich weißt kann man jede Wurzel als Potenz schreiben,
Es gilt also:
                             [mm] \wurzel[h]{a^{b}}=a^{\bruch{b}{h}} [/mm]  

Nun wir haben eine Potenz und was gilt für die Ableitung einer Potenz?
rischtisch!
                    [mm] (a^{\bruch{b}{h}})'= \bruch{b}{h}a^{\bruch{b}{h}-1} [/mm]

Bei deiner Funktion Muss man Potenz-Produkt und Kettenregel anwenden und von daher erscheint es ein wenig schwierig, aber hier ein Beispiel.    

[mm] f(x)=(ax+c)\wurzel{(tx+k)} [/mm]

Umformung:

[mm] f(x)=(ax+c)(tx+k)^{\bruch{1}{2}} [/mm]


Wir haben hier ein Produkt vorliegen, es gilt also:

f'(x)=v(x)u'(x)+v'(x)u(x)

[mm] v(x)=(ax+c)\Rightarrow v'(x)=ax^{0}=a [/mm]
[mm] u(x)=(tx+k)^{\bruch{1}{2}} \Rightarrow u'(x)=\bruch{1}{2}t(tx+k)^{\bruch{-1}{2}} [/mm]

nun brauchst du nur noch einsetzen.

Kommst du klar?

Ich hoffe mir sind keine Fehler unterlaufen.

Gruß Mehmet
Bezug
                                
Bezug
Ableitung von Wurzeln: Zu meiner aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Fr 24.06.2005
Autor: martinmax1234

Hallo,

bedanke mich bei dir, aber kannst du mir das selbe nochmal bei der Funktuion machen:

f(x)= [mm] -20x+52*\wurzel{x^2+144} [/mm]

Wenn du mir das mal an dieser aufgabe zeigen könntest wäre ich die dankbar.
Bezug
                                        
Bezug
Ableitung von Wurzeln: Erläuterung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Fr 24.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Martin,

[willkommenmr] !!


Ich beschränke mich mal auf den Term [mm] $52*\wurzel{x^2+144}$ [/mm] (reine Bequemlichkeit, den anderen Term kriegst Du doch abgeleitet, oder?).


$y \ = \ [mm] 52*\wurzel{x^2+144} [/mm] \ = \ [mm] 52*\left(x^2+144\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] 52*\left(\blue{irgendwas}\right)^{\bruch{1}{2}}$ [/mm]


Wir haben also eine verkette Funktion mit [mm] $\blue{irgendwas}^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] und müssen daher mit der MBKettenregel arbeiten.

Diese lautet ja verbal ausformuliert:

"äußere Ableitung mal innere Ableitung" !


Die äußere Ableitung ist dabei die Ableitung von [mm] $\blue{irgendwas}^{\bruch{1}{2}}$ [/mm] . Dafür benötigen wir die MBPotenzregel:

[mm] $\left[ \ \blue{irgendwas}^{\red{\bruch{1}{2}}} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{2}}*\blue{irgendwas}^{\red{\bruch{1}{2}}-1} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{1}{2}}*\blue{irgendwas}^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*(\blue{irgendwas})^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{\blue{irgendwas}}}$ [/mm]


Dabei interessiert das [mm] $\blue{irgendwas}$ [/mm] noch überhaupt nicht. Diese berücksichtigen wir nämlich bei der sogenannten inneren Ableitung :

[mm] $\blue{irgendwas} [/mm] \ = \ [mm] \blue{x^2+144}$ $\Rightarrow$ $\left[ \ \blue{irgendwas} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \blue{2x}$ [/mm]



Nun setzen wir das alles mal zusammen:

[mm] $\left[ \ 52*\wurzel{x^2+144} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 52*\underbrace{\bruch{1}{2*\wurzel{irgendwas}}}_{"aussere \ Abl.}*\underbrace{2x}_{innere \ Abl.} [/mm] \ = \ [mm] 52*\bruch{2x}{2*\wurzel{irgendwas}} [/mm] \ = \ [mm] 52*\bruch{x}{\wurzel{x^2+144}}$ [/mm]


Und, nun [lichtaufgegangen] ??

Gruß
Loddar

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