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Ableitung von "arcsin x" < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung von "arcsin x": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Mo 07.11.2005
Autor: Arvi-Aussm-Wald

hi@all
also sollen zu hause die ableitungen für arcsin x und arctan x mit hilfe der umkehrfunktionen herrleiten.

also hab ersmtal für arcsin so angefangen:
f (x)= sin x ist abgeleitet cos x (ist vorrausgesetzt)
jetzt hab ich beides mit arcsin x verkettet:
f(arcsin x)=sin (arcsin x)
das abgeleitet ergibt:
f'(arcsin x) * (arcsin x)' = 1
(arcsin x)'= 1/((arcsin (sin x)') oder?? und wie weiter?

also in der schule haben wir als beispiel folgendes gemacht:
f(x)=ln x
e^(f(x))=e^(ln x)
e^(f'(x))=1
e^(f(x)) * f'(x)=1
f'(x)= 1/(e^(f(x)))=1/(e^(ln x))=1/x

das soll ich jetz irgentwie oben genau so machen... aber wie??
danke für die hilfe

        
Bezug
Ableitung von "arcsin x": im MR suchen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Mo 07.11.2005
Autor: informix

Hallo Arvi,
[willkommenmr]

> hi@all
>  also sollen zu hause die ableitungen für arcsin x und
> arctan x mit hilfe der umkehrfunktionen herrleiten.
>  
> also hab ersmtal für arcsin so angefangen:
>  f (x)= sin x ist abgeleitet cos x (ist vorrausgesetzt)
>  jetzt hab ich beides mit arcsin x verkettet:
>  f(arcsin x)=sin (arcsin x)
>  das abgeleitet ergibt:
>  f'(arcsin x) * (arcsin x)' = 1
>  (arcsin x)'= 1/((arcsin (sin x)') oder?? und wie weiter?
>  
> also in der schule haben wir als beispiel folgendes
> gemacht:
>  f(x)=ln x
>  e^(f(x))=e^(ln x)
>  e^(f'(x))=1
>  e^(f(x)) * f'(x)=1
>  f'(x)= 1/(e^(f(x)))=1/(e^(ln x))=1/x
>  
> das soll ich jetz irgentwie oben genau so machen... aber
> wie??

ich habe mal für dich im Matheraum gesucht (Button oben rechts!): umkehrfunktion ableitung arcsin

[guckstduhier] hier oder hier oder MBUmkehrfunktion

Gruß informix



Bezug
                
Bezug
Ableitung von "arcsin x": danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Mo 07.11.2005
Autor: Arvi-Aussm-Wald

ganz schön kompliziert irgentwie aber denke habs trotzdem verstanen danke an euch beide

Bezug
        
Bezug
Ableitung von "arcsin x": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 07.11.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Arvi,

> also hab erstmal für arcsin so angefangen:
>  f (x)= sin x ist abgeleitet cos x (ist vorausgesetzt)
>  jetzt hab ich beides mit arcsin x verkettet:
>  f(arcsin x)=sin (arcsin x)
>  das abgeleitet ergibt:
>  f'(arcsin x) * (arcsin x)' = 1

Sag ich mal: OK!

>  (arcsin x)'= 1/((arcsin (sin x)') oder?? und wie weiter?

Naja: Erst mal doch:

(arcsin(x))'= [mm] \bruch{1}{f'(arcsin(x))} [/mm]
(PS: Kann die Schreibweise ohne Funktionsklammern nicht ausstehen!)

Und somit:
(arcsin(x))'= [mm] \bruch{1}{cos(arcsin(x))} [/mm]

So: Und nun formen wir den Cosinus in den Sinus um:
Es gilt doch: [mm] cos^{2}(x) [/mm] + [mm] sin^{2}(x) [/mm] = 1

Umgeformt (und unter Beachtung der Definitionsmenge - die hier zum Glück passt!) ergibt sich doch:

cos(x) = [mm] \wurzel{1-sin^{2}(x)} [/mm] (***)

Demnach ist
cos(arcsin(x)) =  [mm] \wurzel{1-sin^{2}(arcsin(x))} [/mm]
(Du musst ja nur in der Umformung (***) das x durch arcsin(x) ersetzen!)

Da nun aber sin(arcsin(x)) = x (Umkehrfunktionen!),

kriegst Du das gewünschte Ergebnis!

mfG!
Zwerglein


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