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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Di 17.01.2006 | | Autor: | Timowob |
| Aufgabe | Differenzieren Sie nachvollziehbar die Funktion
[mm] $\mathrm{e}^{\sin^2 x+\cos^2 x}$ [/mm] |
Hallo,
ich komme mit der Ableitung nicht weiter.
Mein Ansatz ist:
[mm] e^{sin²x+cos²x}*2cos [/mm] x + 2 -sin x
aber ich glaube, das ist falsch. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 18.01.2006 | | Autor: | aktava |
> Differenzieren Sie nachvollziehbar die Funktion
>
> [mm]e^{sin²x+cos²x}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme mit der Ableitung nicht weiter.
>
> Mein Ansatz ist:
>
> [mm]e^{sin²x+cos²x}*2cos[/mm] x + 2 -sin x
>
> aber ich glaube, das ist falsch. Kann mir jemand auf die
> Sprünge helfen?
>
> Viele Grüße
>
> Timo
>
>
Hallo,
Ich habe bekommen:
Die Ableitung von [mm] (e^{sin²x+cos²x}) [/mm] ist 0
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:27 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo,
wie bist du zu diesem ergebnis gekommen?
Viele Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Timo!
> Differenzieren Sie nachvollziehbar die Funktion
>
> [mm]e^{sin²x+cos²x}[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme mit der Ableitung nicht weiter.
>
> Mein Ansatz ist:
>
> [mm]e^{sin²x+cos²x}*2cos[/mm] x + 2 -sin x
Das ist schon nicht schlecht, nur hast Du bei der Ableitung der inneren Funktion einen Fehler gemacht.
Außerdem beachte, dass Du, sobald Du mit einer Summe multiplizierst (die innere Ableitung ist hier eine Summe), Klammern setzen musst.
Die innere Funktion ist also [mm] $\sin^2 x+\cos^2 [/mm] x$.
Die Ableitung davon ist [mm] $2*\cos [/mm] x [mm] *\sin [/mm] x + [mm] 2(-\sin x)*\cos [/mm] x$.
> aber ich glaube, das ist falsch. Kann mir jemand auf die
> Sprünge helfen?
Und, hat's geholfen?
Kennst Du einen weiteren Weg, aktavas richtiges Ergebnis zu erhalten? Schaue Dir mal den Exponenten an, dafür gibt es eine schöne Vereinfachung...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Marc,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich bin jetzt zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm]e^{sin²x+cos²x}[/mm]
ist gleich [mm] e^1 [/mm] weil sin²x+cos²x=1 ist.
Also ist die Ableitung nach der Vereinfachung:
[mm] e^1*(1)' [/mm] = e*0 = 0
Ich denke, daß das so richtig ist. Ich weiß aber nicht, warum sin²x+cos²x=1 ist. Kannst Du mir das evtl. erklären?
Und dann frage ich mich, wie Du bei
Die innere Funktion ist also [mm] $\sin^2 x+\cos^2 [/mm] x$.
Die Ableitung davon ist [mm] $2*\cos [/mm] x [mm] *\sin [/mm] x + [mm] 2(-\sin x)*\cos [/mm] x$.
auf 0 kommst.
Ganz liebe Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Timo!
> vielen Dank für Deine Antwort. Ich bin jetzt zu folgendem
> Ergebnis gekommen:
>
> [mm]e^{sin²x+cos²x}[/mm]
>
> ist gleich [mm]e^1[/mm] weil sin²x+cos²x=1 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist die Ableitung nach der Vereinfachung:
>
> [mm]e^1*(1)'[/mm] = e*0 = 0
Wie meinst du das genau? Es ist komisch aufgeschrieben. Für die konstante Funktion [mm] $f(x)=e^1=e$ [/mm] gilt: $f'(x)=0$.
> Ich denke, daß das so richtig ist. Ich weiß aber nicht,
> warum sin²x+cos²x=1 ist. Kannst Du mir das evtl. erklären?
Schau dir mal das folgende Bildchen an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wende im Dreieck 0BA Pythogoras an. Beachte, dass es sich um den Einheitskreis (den Kreis um $0$ mit Radius $1$) handelt. Man nennt die Identität daher auch den trigonometrischen Pythagoras.
> Und dann frage ich mich, wie Du bei
> Die innere Funktion ist also [mm]\sin^2 x+\cos^2 x[/mm].
> Die Ableitung davon ist [mm]2*\cos x *\sin x + 2(-\sin x)*\cos x[/mm].
Die Ableitung wurde mit der Produktregel (edit: sorry: meinte natürlich Kettenregel, auch wenn es mit der Produktregel auch (umständlich) ginge) ausgerechnet.
Beachte nun: [mm] $2(-\sin(x)) \cdot \cos(x) [/mm] = -2 [mm] \sin(x) \cdot \cos(x) [/mm] = -2 [mm] \cos(x) \cdot \sin(x)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Julius,
das mit dem Satz vom Pythagoras habe ich verstanden  Vielen Dank für den Hinweis und die Mühe wegen der Grafik.
Bei dem konventionellen Ableiten habe ich wohl meine Probleme. Ich zeige dir mal, wie ich sin²x+cos²x ableite:
sin²x+cos²x
=sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)
Jetzt habe ich mir das so umgeformt, daß ich die Produktregel anwenden kann:
cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x) + -sin(x)*cos(x)+cos(x)*-sin(x)
=2(cos(x)*sin(x)) + 2(cos(x)*-sin(x))
aber wie dieser Ausdruck zu 0 werden soll, das kann ich nicht nachvollziehen :-( kannst Du mir das erklären?
Liebe Grüße
Timo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Timo,
> sin²x+cos²x
> =sin(x)*sin(x)+cos(x)*cos(x)
> Jetzt habe ich mir das so umgeformt, daß ich die
> Produktregel anwenden kann:
>
> cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x) +
> -sin(x)*cos(x)+cos(x)*-sin(x)
> =2(cos(x)*sin(x)) + 2(cos(x)*-sin(x))
> aber wie dieser Ausdruck zu 0 werden soll, das kann ich
> nicht nachvollziehen :-( kannst Du mir das erklären?
Du mußt ein wenig mit den Klammern aufpassen, aber bei dir steht:
[mm]=2 (\cos x \cdot \sin x) + 2 (\cos x \cdot (-\sin x))[/mm]
Aber dann steht es doch schon da!
[mm]=2 (\cos x \cdot \sin x) + 2 (-\cos x \cdot \sin x)=
2 (\cos x \cdot \sin x) - 2 \cdot (\cos x \cdot \sin x)=0[/mm]
Du kannst es aber auch anders mit der Potenzregel und mit Hilfe der Kettenregel ableiten. Die Ableitung lautet dann:
[mm]2 \cdot (\sin x)^{2-1} \cdot \underbrace{\cos x}_{\mbox{innere Ableitung}} + 2 \cdot (\cos x)^{2-1} \cdot \underbrace{(-\sin x)}_{\mbox{innere Ableitung}}[/mm]
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Timowob |
Hallo Astrid,
vielen Dank für die Antwort! Jetzt habe ich das auch verstanden. Das ist wirklich super lieb von Dir! Herzlichen Dank!
Liebe Grüße
Timo
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