Ableitung von exp(x) (Beweis) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
vielleicht eine etwas dämlcihe Frage, aber wie kann man MÖGLICHST EINFACH zeigen dass die Ableitung von [mm] f(x)=e^x [/mm] wieder [mm] e^x [/mm] ist.
Mir ist klar, dass die Ableitung klassisch so berechnet werden kann:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{e^{x+h}-e^{x}}{h}=e^{x} \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{e^{h}-1}{h}
[/mm]
Wie bekomme ich aber jetzt diesen (letzten) verrückten Term zu 1 ?
Wenn ich statt [mm] \limes_{h\rightarrow\0}(h) [/mm] lieber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n) [/mm] von verwende (also eine spezielle Nullfolge einsetze) ergibt sich doch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{1/n}-1}{1/n}
[/mm]
Dies müsste dann gleich 1 sein. Wie zeige ich das möglichst einfach ?
Danke schonmal fürs Kopfrauchen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallöle!
Ich würde es mit logarithmischer Differentiation zeigen:
[mm] $f(x)=e^x$ [/mm] Logarithmieren
[mm] $ln(f(x))=ln(e^x)=x\cdot [/mm] ln(e)$ Ableiten
[mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}=ln(e)$
[/mm]
[mm] $\gdw f'(x)=ln(e)\cdot f(x)=1\cdot e^x=e^x$.
[/mm]
Ich hoffe mal, dass ich nichts verwendet habe, was ich nicht durfte.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Das ist ja wirklich kurz und bündig.
Leider verstehe ich (oh, je !!!) noch nicht Zeile nach dem Ableiten.
Besonders die linke Seite: Wo kommt denn [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] her ?
Danke schonmal.
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Arrgh! Ich TROTTEL !!!!
Kettenregel natürlich !!!
Vielen Dank euch beiden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Sa 30.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
um den grenzwert [m] \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} [/m] zu berechnen kann man auch so vorgehen, dass man [m] \exp(h)[/m] durch seine potenzreihe [m] \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!} [/m] ersetzt - insofern ihr [m] e^h [/m] so definiert habt oder diese darstellung bewiesen habt.
bei der verwendung der logarithmischen ableitung besteht nämlich die gafahr, dass man sich im kreis dreht!
grüße
andreas
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http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage170/