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Forum "Analysis-Sonstiges" - Ableitung von verketteter Funk
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Ableitung von verketteter Funk: Tipp + Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Mi 18.06.2008
Autor: carl1990

Aufgabe
Bestimmen Sie die Ableitung von [mm] f(x)=2(x-1)^2\wurzel{x} [/mm]

ich habe zunächst das Binom ausmultipliziert
[mm] =2(x^2-2x+1)\wurzel{x} [/mm]
[mm] =(2x^2-4x+2)\wurzel{x} [/mm]

und dachte dann an die Produktregel
f'(x)=u'v+uv'

[mm] u=(2x^2-4x+2) [/mm]
u'=4x-4
[mm] v=\wurzel{x} [/mm]
[mm] v'=1/2\wurzel{x} [/mm]

[mm] (4x-4)\wurzel{x}+(2x^2-4x+2)1/2\wurzel{x} [/mm]

...irgendwie komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Ich glaube auch nicht, dass dieser Ansatz mich zum Erfolg führt

[mm] f`(x)=(x-1)(5-1/x)\wurzel{x} [/mm]

Bitte um Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableitung von verketteter Funk: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 18.06.2008
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Bestimmen Sie die Ableitung von [mm]f(x)=2(x-1)^2\wurzel{x}[/mm]
>  ich habe zunächst das Binom ausmultipliziert
>  [mm]=2(x^2-2x+1)\wurzel{x}[/mm]
>  [mm]=(2x^2-4x+2)\wurzel{x}[/mm]

[daumenhoch]

>  
> und dachte dann an die Produktregel
> f'(x)=u'v+uv'

Korrekt

>  
> [mm]u=(2x^2-4x+2)[/mm]
>  u'=4x-4
>  [mm]v=\wurzel{x}[/mm]
>  [mm]v'=1/2\wurzel{x}[/mm]

Wenn du mit [mm] v'=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] meinst, ja

>  
> [mm](4x-4)\wurzel{x}+(2x^2-4x+2)1/2\wurzel{x}[/mm]

Damit:

[mm] f(x)=(2x^2-4x+2)\wurzel{x} [/mm]
[mm] f'(x)=(4x-4)\wurzel{x}+\bruch{2x²-4x+2}{2\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{(4x-4)\wurzel{x}*\green{\wurzel{x}}}{\green{\wurzel{x}}}+\bruch{x²-2x+1}{\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{(4x-4)\wurzel{x}*\wurzel{x}+x²-2x+1}{\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{(4x-4)*x+x²-2x+1}{\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{4x²-4x+x²-2x+1}{\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{5x²-6x+1}{\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{(5x²-6x+1)\wurzel{x}}{\wurzel{x}*\wurzel{x}} [/mm]
[mm] =\bruch{(5x²-6x+1)\wurzel{x}}{x} [/mm]
[mm] =\bruch{5x²-6x+1}{x}*\wurzel{x} [/mm]
[mm] =(5x-6+\bruch{1}{x})*\wurzel{x} [/mm]


Und, vom Ziel ausgehend:

[mm] f'(x)=\left(x-1\right)*\left(5-\bruch{1}{x}\right)*\wurzel{x} [/mm]
[mm] =\left(5x-1-5+\bruch{1}{x}\right)*\wurzel{x} [/mm]
=....

Jetzt setze beide Teile mal zusammen.

Marius

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