Ableitung zusammenfassen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Do 21.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | im Rahmen einer Kurvendiskussion sollen die ersten 3 Ableitungen gebildet werden.Die Funktion lautet [mm] f(x)=\wurzel[3]{3x^{2}-x^{3}}
[/mm]
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Ich habe versucht die ersten 3 Ableitungen zu bilden, bin aber in der 2. gescheitert, weil ich einen (wie ich glaube) viel zu komplexen Ausdruck da zum ableiten hatte.
Also für die 1. Ableitung hab ich erst mal umgeschrieben:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{3x^{2}-x^{3}} [/mm] = [mm] (3x^{2}-x^{3})^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
meine 1. Ableitung habe ich dann mittels Kettenregel folgendermaßen gebildet:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{3}*(3x^{2}-x^{3})^{-\bruch{2}{3}}*6x-3x^{2}
[/mm]
Das kann ich dann noch etwas zusammenfassen:
[mm] f'(x)=(3x^{2}-x^{3})^{-\bruch{2}{3}}*2x-x^{2}
[/mm]
Jetz kann man das höchsten (so denke ich mal) noch folgendermaßen schreiben:
[mm] f'(x)=2x-x^{2}/\wurzel[3]{(3x^{2}-x^{3})}^{2}
[/mm]
Kann man das jetzt noch weiter vereinfachen?
Denn wenn nicht, werden 2. und 3. Ableitung dann schon ziemlich "hässlich", wegen mehrfacher Anwendung von Quotienten- und speziell Kettenregel...
Ich habe mit dem, was oben steht versucht, die 2. Ableitung zu bilden. Allerdings war das, was da rauskam schon sehr lang und unschön. Und demnach habe ich die 3. Ableitung erstmal sein lassen.
Vielleicht weiß ja jemand, ob man das noch vereinfachen kann, um dann leichter die noch fehlenden Ableitungen zu bilden...
Vielen Dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Bitte aufpassen: Du unterschlägst so einige notwendige Klammern.
Zum Beispiel:
[mm]f'(x)=\red{\left(}2x-x^{2}\red{\right)}/\wurzel[3]{(3x^{2}-x^{3})}^{2}[/mm]
Ich sehe hier lediglich als Idee, unter der Wurzel [mm] $x^3$ [/mm] auszuklammern, so dass man im gesamten Bruch ein $x_$ kürzen kann.
Ob das aber eine wirkliche Vereinfachung liefert, weiß ich nicht ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Do 21.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | [mm] f'(x)=(2x-x^{2})/\wurzel[3]{(3x^{2}-x^{3})}^{2} [/mm] |
Naja, wenn ich da [mm] x^{3} [/mm] in der Wurzel ausklammere, habe ich doch folgendes da stehen.
[mm] f'(x)=(2x-x^{2})/\wurzel[3]{x^{3}*(3/x-1)}^{2} [/mm]
Na, ich denke nicht, dass noch was bringt, oder hab ich dich falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Du übersiehst hier noch das [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] in/an der Wurzel:
$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{2x-x^2}{\wurzel[3]{(3x^2-x^3)}^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-x^2}{\wurzel[3]{(3x^2-x^3)^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2x-x^2}{\wurzel[3]{9x^4-6x^5+x^6}} [/mm] \ = \ ...$
Nun [mm] $x^3$ [/mm] ausklammern ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Do 21.12.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | ok, hab ich übersehen... |
also wenn ich jetz [mm] x^{3} [/mm] ausklammer hab ich dann zunächst da stehen:
f'(x) = [mm] \bruch{2x-x^2}{\wurzel[3]{x^{3}*(9x-6x^2+x^{3})}}
[/mm]
kann ich denn das [mm] x^{3} [/mm] jetz vor die Wurzel ziehen, so dass ich da was mit dem Zähler kürzen kann?
also: f'(x) = [mm] \bruch{2x-x^2}{x^{3}*\wurzel[3]{(9x-6x^2+x^{3})}}
[/mm]
und dann weiter:
f'(x) [mm] =\bruch{x(2-x)}{x^{3}*\wurzel[3]{(9x-6x^2+x^{3})}}
[/mm]
weiter:
f'(x) [mm] =\bruch{(2-x)}{x^{2}*\wurzel[3]{(9x-6x^2+x^{3})}}
[/mm]
aber eigentlich kommt mir das mit dem vorziehen vor die Wurzel falsch vor....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Das "bloße aus der Wurzel ziehen" ist natürlich falsch. Richtig ist:
[mm] $\wurzel[3]{x^3*(9x-6x^2+x^3)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{x^3}*\wurzel[3]{9x-6x^2+x^3} [/mm] \ = \ [mm] x*\wurzel[3]{9x-6x^2+x^3}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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