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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Ableitungen:
1) f(x) = [mm] a^x
[/mm]
2) h(y) = [mm] y^{ \ln(y)}*e^{ \sqrt[4]( \tan (\cos y))}
[/mm]
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Hi!
ad 1) Wie kommt man denn rechnerisch auf f'(x) = [mm] a^x*logx? [/mm] Ich brauch eine schöne Herleitung, sodass der log auftaucht.
Mir ist ja auch klar, dass sich für die exp der ln dann praktisch weghebt.
Bin das Ganze vorher implizit angegangen, und da funktionierts prächtig, nur dass ich dafür die Ableitungsformel für den log verwendet habe, und mir dessen Herleitung auch nicht klar ist. Das läuft ja im Kreis so. Ich brauch als Info eine der beiden Herleitungen, der Rest ergibt sich dann eh durch die Umkehrfunktion.
ad 2) hier die Lösung lt. Lösungsblatt:
h'(x) = [mm] e^{ \ln^2y} [/mm] * 2 [mm] \ln(y) [/mm] * [mm] \bruch{1}{y} [/mm] * [mm] e^{ \sqrt[4]( \tan (\cos y))} [/mm] +
[mm] e^{ \ln^2y} [/mm] * [mm] e^{ \sqrt[4]( \tan (\cos y))} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \sqrt[4]( \tan ( \cos(y)))^3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{y} [/mm] * [mm] \bruch{1}{ \cos^2 ( \cos(y))} [/mm] * (- [mm] \sin(y))
[/mm]
meine Verwunderung bezieht sich hier auf das [mm] e^{ \ln^2y} [/mm] ... wo kommt das her? (wo kommt überhaupt e her??)
thx & greetz
sonnenblumale
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Berechnen Sie folgende Ableitungen:
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> 1) f(x) = [mm]a^x[/mm]
> 2) h(y) = [mm]y^{ \ln(y)}*e^{ \sqrt[4]( \tan (\cos y))}[/mm]
>
> Hi!
>
> ad 1) Wie kommt man denn rechnerisch auf f'(x) = [mm]a^x*logx?[/mm]
> Ich brauch eine schöne Herleitung, sodass der log
> auftaucht.
Also [mm] $\log [/mm] = [mm] \ln$ [/mm] bei dir? 
Nun, nimm [mm] $a^x [/mm] = [mm] \exp(\log a^x) [/mm] = [mm] \exp(x \log [/mm] a)$ und wende die Kettenregel an.
> Mir ist ja auch klar, dass sich für die exp der ln dann
> praktisch weghebt.
> Bin das Ganze vorher implizit angegangen, und da
> funktionierts prächtig, nur dass ich dafür die
> Ableitungsformel für den log verwendet habe, und mir dessen
> Herleitung auch nicht klar ist. Das läuft ja im Kreis so.
> Ich brauch als Info eine der beiden Herleitungen, der Rest
> ergibt sich dann eh durch die Umkehrfunktion.
Was genau brauchst du fuer Herleitungen? Das [mm] $\log'x [/mm] = 1/x$ ist, und das ...? Das [mm] $\log'x [/mm] = 1/x$ ist folgt mit der Regel fuer Umkehrfunktionen aus [mm] $\exp'(x) [/mm] = [mm] \exp(x)$, [/mm] willst du davon eine Herleitung?
> ad 2) hier die Lösung lt. Lösungsblatt:
> h'(x) = [mm]e^{ \ln^2y}[/mm] * 2 [mm]\ln(y)[/mm] * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] * [mm]e^{ \sqrt[4]( \tan (\cos y))}[/mm]
> +
> [mm]e^{ \ln^2y}[/mm] * [mm]e^{ \sqrt[4]( \tan (\cos y))}[/mm] * [mm]\bruch{1}{ \sqrt[4]( \tan ( \cos(y)))^3}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{y}[/mm] * [mm]\bruch{1}{ \cos^2 ( \cos(y))}[/mm] * (-
> [mm]\sin(y))[/mm]
>
> meine Verwunderung bezieht sich hier auf das [mm]e^{ \ln^2y}[/mm]
> ... wo kommt das her? (wo kommt überhaupt e her??)
Nun: [mm] $y^{\ln y} [/mm] = [mm] \exp(\ln y^{\ln y}) [/mm] = [mm] \exp(\ln [/mm] y [mm] \cdot \ln [/mm] y) = [mm] \exp(\ln^2 [/mm] y)$. Und per Definition ist ja [mm] $\exp(x) [/mm] = [mm] e^x$.
[/mm]
Beantwortet das deine Fragen?
LG Felix
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Hi Felix!
Danke, Frage perfekt beantwortet!
lg
sonnenblumale
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