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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 13.08.2006 | | Autor: | Waltraud |
| Aufgabe | Bilden sie die 1. Ableitungsfunktion f' der folgenden trigonometrischen Funktionen f:
a) f:x --> tan2x
b) f:x --> sin3x + 3cosx
c) f:x --> sin²x + cos²x
d) f:x --> sin wurzel aus x
e) f:x: --> wurzel aus sinx
f) f:x --> cos 1/x
g) f:x --> x/sinx |
Hallo ihr lieben, ich steh da mal wieder total auf den schlauch. Ich bitte um Hilfe.
Vielen lieben Dank
Gruß Waltraud
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 So 13.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Wäre schön, wenn du trotzdem dass du bei dieser Aufgabe nicht allzu viel hinbekommst, evtl. Vermutungen oder eigene Ansätze posten würdest. Wenn diese dann falsch sind, ist das auch nicht so schlimm, denn aus Fehlern lernt man ja bekanntlich eine ganze Menge! 
Allem voran solltest du folgende elementar wichtigen Dinge wissen (ich denke, die weißt du auch schon!).
(1) [mm] \bruch{d}{dx}sin(x)=cos(x)
[/mm]
(2) [mm] \bruch{d}{dx}cos(x)=-sin(x)
[/mm]
(3) [mm] tan(a*x)=\bruch{sin(a*x)}{cos(a*x)}, a\in\IR
[/mm]
(4) [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1
[/mm]
Außerdem sollest du die Ableitungsregeln allesamt sicher beherrschen.
Okay, soviel zur Vorarbeit, nun zu den eigentlichen Aufgaben.
a) Diese lässt sich lösen mit (3) und der Quotienten- und Kettenregel. Ich rechne dir das mal beispielhaft vor, dann dürften die anderen Aufgaben auch klappen!
[mm] \bruch{d}{dx}tan(2x)\overbrace{=}^{(3)}\bruch{d}{dx}\bruch{sin(2*x)}{cos(2*x)}\overbrace{=}^{Quotienten- und Kettenregel}\bruch{2*cos(x)*cos(x)+2*sin(x)*sin(x)}{cos^{2}(2*x)}\overbrace{=}^{(4)+Ausklammern}\bruch{2}{cos^{2}(2*x)}
[/mm]
b) Hier gilt [mm] \bruch{d}{dx}(sin(3*x)+3*cos(x))=\bruch{d}{dx}sin(3*x)+\bruch{d}{dx}3*cos(x)=...
[/mm]
Jetzt einfach die Kettenregel auf sin(3*x) und cos(x) anwenden.
c) Naja, nach (4) musst du ja hier die Funktion f(x)=1 ableiten, und die ist denke ich klar!
d) [mm] \bruch{d}{dx}sin(\wurzel{x})\overbrace{=}^{Umschreiben}=\bruch{d}{dx}sin(x^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
Jetzt wieder Kettenregel und Potenzregel.
e) [mm] \bruch{d}{dx}\wurzel{sin(x)}\overbrace{=}^{Umschreiben}\bruch{d}{dx}(sin(x))^{\bruch{1}{2}}\overbrace{=}^{Kettenregel}\bruch{1}{2}(sin(x))^{-\bruch{1}{2}}*cos(x)
[/mm]
Das ist dann schon das Ergebnis, man kann es allerdings noch etwas umformen.
f) [mm] \bruch{d}{dx}cos(1/x)\overbrace{=}^{Umschreiben}\bruch{d}{dx}cos(x^{-1})=...
[/mm]
Jetzt wieder Ketten- und Potenzregel anwenden.
g) Quotientenregel anwenden.
So. Das ganze sieht ziemlich kompliziert aus vielleicht, allerdings muss man nur die Dinge (1)-(4), die Ableitungsregeln und einige Umformungen sich klarmachen, dann dürfte es klappen! Einfach ein paar mal scharf anschauen!
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 13.08.2006 | | Autor: | Waltraud |
Hier mal meine Ableitungen, ich weiß aber nicht ob diese richtig sind, deshalb bitte ich um Korrektur
a) f:x -->tan2x
=> ´sin (2x)/ cos(2x)
=> 2 (cos (x) * cos (x) + 2 sin(x) * sin (x)
=> f ' :x --> 2 / cos² (x)
b) f : x ---> sin3x + 3cosx
=> f ' : x --> cos x - 3 * sin (x)
c) f: x --> sin²x + cos²x => f ' : x --> 0
d) f: x --> tan²x => f ' :x --> 2 tanx/ cos²x
e) f:x --> sin wurzel aus x => f ' :x --> - cos 1/2* wurzel x
f) f :x --> wurzel aus sinx => f'x --> 1/2 (sin (x)) ^-1/2 * cos (x)
g) f: x --> cos 1/x => f':x --> - sin 1/x²
h) f:x --> x/sinx
bei h hab ich leider noch keinen anfang gefunden.
Vielen dank für eine Korrektur und evt. Erklärungen
Gruß Waltraud
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 13.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Dann schauen wir uns deine Rechnungen mal an!
> a) f:x -->tan2x
> => ´sin (2x)/ cos(2x)
> => 2 (cos (x) * cos (x) + 2 sin(x) * sin (x)
> => f ' :x --> 2 / cos² (x)
Im Zähler müsste hier das 2x im Kosinus erhalten bleiben, so dass es heißt:
[mm] f'(x)=\bruch{2}{cos^2(2x)},
[/mm]
> b) f : x ---> sin3x + 3cosx
> => f ' : x --> cos x - 3 * sin (x)
Hier ist offensichtlich bei der Kettenregel im ersten Summand ein Fehler passiert . Der zweite Summand passt. Es müsste heißen $f':x-->3*cos(3*x)-3*sin(x)$
> c) f: x --> sin²x + cos²x => f ' : x --> 0
Ja, genau!
> d) f: x --> tan²x => f ' :x --> 2 tanx/ cos²(x)
Stimmt auch!
> e) f:x --> sin wurzel aus x => f ' :x --> - cos 1/2* wurzel x
Hier dürfte auch ein kleiner Schnitzer bei der Kettenregel passiert sein: Ergebnis lautet: [mm] f':x-->\bruch{cos(\wurzel{x})}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
>
> f) f :x --> wurzelaus sinx => f'x --> 1/2 (sin (x)) ^-1/2
> * cos (x)
Die passt wie besprochen!
> g) f: x --> cos 1/x => f':x --> - sin 1/x²
Hier auchnochmal drüberschauen: Das Ergebnis lauetet [mm] f':x-->\bruch{sin(1/x)}{x^{2}}.
[/mm]
> h) f:x --> x/sinx
Probiers hier mal mit der Quotientenregel. Die ist nicht allzu schwer! Nur das Ergebnis sieht etwas weniger kompakt aus!
Grundsätzlich solltest du dir vielleicht nocheinmal die Kettenregel bei trigonometrischen Funktionen anschauen und üben!
Wenns nicht klappt, einfach nochmal melden!
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Waltraud |
Hallo ich bin es noch mal
ich komm da einfach nicht weiter mit der Quotientenregel bei der letzten Aufgabe.
f: x--> x/sinx
Ich hätte da so eine überlegung, weiß aber nicht wie ich drauf gekommen bin
könnte die 1. Ableitung vielleicht: f ': x --> x /cosx sein?
Bitte um Antwort. Lieben Dank Waltraud
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Hallo Waltraud!
Wie Du bereits selber anmerkst, musst Du hier mit der  Quotientenregel arbeiten.
Dabei gilt hier $u \ := \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 1$
sowie $v \ := \ [mm] \sin(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] \cos(x)$
[/mm]
Was erhältst Du denn dann, wenn Du das in die Formel [mm] $\left(\bruch{u}{v}\right)' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u'*v-u*v'}{v^2}$ [/mm] einsetzt?
Gruß vom
Roadrunner
PS: Am Ende solltest Du dann $f'(x) \ = \ [mm] \bruch{\sin(x)-x*\cos(x)}{\sin^2(x)}$ [/mm] erhalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 13.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Hallo Kuebi!
Kannst du bitte kurz Aufgabe 1 erläutern? Ich steh grad etwas auf dem Schlauch und weiß nicht, wie die 2 aus sin(2x) bzw. cos(2x) verschwindet...
[mm] f(x)=\bruch{sin(2x)}{cos(2x)}
[/mm]
u=sin(2x) ; u'=2cos(2x)
v=cos(2x) ; v'=-2sin(2x)
--> [mm] f'(x)=\bruch{2cos(2x)*cos(2x)+2sin(2x)*sin(2x)}{cos^2(2x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2cos^2(2x)+2sin^2(2x)}{cos^2(2x)}
[/mm]
Aber wie verschwindet die 2? Oder hab ich mich irgendwo verrechnet?
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Hallo!
> Kannst du bitte kurz Aufgabe 1 erläutern? Ich steh grad
> etwas auf dem Schlauch und weiß nicht, wie die 2 aus
> sin(2x) bzw. cos(2x) verschwindet...
>
> [mm]f(x)=\bruch{sin(2x)}{cos(2x)}[/mm]
>
> u=sin(2x) ; u'=2cos(2x)
> v=cos(2x) ; v'=-2sin(2x)
>
> -->
> [mm]f'(x)=\bruch{2cos(2x)*cos(2x)+2sin(2x)*sin(2x)}{cos^2(2x)}[/mm]
> [mm]=\bruch{2cos^2(2x)+2sin^2(2x)}{cos^2(2x)}[/mm]
>
> Aber wie verschwindet die 2? Oder hab ich mich irgendwo
> verrechnet?
Auf welche Aufgabe aus dem Thread beziehst du dich denn hier überhaupt? Wieso sollte da eine 2 verschwinden? Ich wüsste nicht, wieso.
Du kannst das Ergebnis nur noch vereinfachen zu: [mm] \bruch{2}{\cos^2(2x)}, [/mm] denn es gilt ja: [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)=1.
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:20 Mo 14.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Ich beziehe mich auf Aufgabe a).
Die Ausgangsaufgabe war ja f(x)=tan(2x)
Mir ist schon klar, warum g(x)=tan(x) [mm] g'(x)=\bruch{1}{cos^2(x)} [/mm] gibt, aber warum wird aus f(x)=tan(2x) [mm] f'(x)=\bruch{2}{cos^2(x)}? [/mm] Wo ist die 2 vor dem x?
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Hallo Stefan,
> Ich beziehe mich auf Aufgabe a).
> Die Ausgangsaufgabe war ja f(x)=tan(2x)
> Mir ist schon klar, warum g(x)=tan(x)
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{cos^2(x)}[/mm] gibt, aber warum wird aus
> f(x)=tan(2x) [mm]f'(x)=\bruch{2}{cos^2(x)}?[/mm] Wo ist die 2 vor
> dem x?
Das kommt wegen der Kettenregel beim Ableiten: "innere Ableitung mal die äußere Ableitung". In diesem Fall bildest du also die innere Ableitung von [mm]g(x) := 2x[/mm] und Diese lautet 2.
Allerdings sollte bei der äußeren Ableitung die 2 nicht verlorengehen:
[mm]\frac{1}{cos^2(x)} \leadsto \frac{1}{cos^2(\green{2}x)}[/mm]
Gruß
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 14.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Hallo Karl,
genau das ist doch meine Rede. Wenn ich f(x)=tan(2x) ableite, dann erhalte ich [mm] f'(x)=\bruch{2cos^2(2x)+2sin^2(2x)}{cos^2(2x)}
[/mm]
In der ersten Antwort auf die Ursprungsfrage wurde allerdings [mm] \bruch{2}{cos^2(x)} [/mm] angegeben. Ich wundere mich nur, wie die ganzen 2en von sin(2x) bzw. cos(2x) verschwinden...wenn man die einfach wegstreichen könnte, käme ich auf das selbe ergebnis ;) Frage ist nur wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Das Ergebnis aus der Ursprungsantwort ist richtig.
[mm] f'(x)=\bruch{2cos^2(2x)+2sin^2(2x)}{cos^2(2x)}
[/mm]
Jetzt kannst du im Zähler die 2 ausklammern...
[mm] f'(x)=\bruch{2*(cos^2(2x)+sin^2(2x))}{cos^2(2x)}
[/mm]
Mit [mm] cos^2(2x)+sin^2(2x)=1 [/mm] folgt also:
[mm] f'(x)=\bruch{2}{cos^2(2x)}
[/mm]
Alles klar jetzt?
Lg, Kübi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 14.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Hi Kübi,
sorry, wenn ich soviel dumme Fragen stelle, aber was ist denn nun richtig?
[mm] f'(x)=\bruch{2}{cos^2(2x)}, [/mm] wie du es in deinem letzten Post angegeben hast, oder [mm] f'(x)=\bruch{2}{cos^2(x)}, [/mm] wie du es in deiner ersten Antwort angegeben hast? [Auf deine letzte Anwort bin ich auch gekommen, nur halt die Frage wie die Zwei im Nenner verschwindet]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 14.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Jetzt merke ich erst was ich hier diskutiert wird!
Also, richtig ist definitiv
[mm] f'(x)=f'(x)=\bruch{2}{cos^2(2x)}
[/mm]
Die zwei im Zähler im Kosinus verschwindet natürlich nicht!
Ich werde das bei meinen ersten Antworten wo mir der Fehler unterlaufen ist auch ändern!
Lg, Kübi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:31 Di 15.08.2006 | | Autor: | sT3fan |
Danke, das wollte ich doch nur wissen. :) Ich bin hier fast verzweifelt, weil bei mir die 2 nicht verschwunden ist ;)
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