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| Aufgabe | Leiten sie ab:
a) f ( x) = ln(x+1)
b) f(x)= [mm] k*k^{x}- k^{-x}
[/mm]
c) f(x) [mm] =ln(\wurzel{x+2})
[/mm]
d) f(x) [mm] =log_{2}(x) [/mm] + x+ 2
e) f(x)= [mm] b^{x}+ x^{b}
[/mm]
f) f(x) = [mm] \bruch{6 e^{x}}{e^{x}+ 5} [/mm] |
Hallo Ich habe diese Aufgaben auf. Hinweis ln bedeutet natürlicher Logartithmus.
Ich weiß , dass die Ableitung von ln [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist. Wieso ist das so und ist das auch richtig?
dann wäre die Anleitung von a) [mm] \bruch{1}{x+1} [/mm] oder?
Kann mir denn jemand tipps zu den anderen Aufgaben geben. NUR TIPPS. Bei e bin ich mir nicht sicher aber ist die ableitung da nicht: f´(x)= ln(b) * [mm] b^x [/mm] + [mm] bx^{b-1}
[/mm]
Wir hatten nämlich folgene Ableitungsformel
f(x) = [mm] b^{x}
[/mm]
f´(x)= [mm] ln(b)*b^{x}
[/mm]
danke im vorraus für hilfe
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> Leiten sie ab:
> a) f ( x) = ln(x+1)
> b) f(x)= [mm]k*k^{x}- k^{-x}[/mm]
> c) f(x) [mm]=ln(\wurzel{x+2})[/mm]
> d) f(x) [mm]=log_{2}(x)[/mm] + x+ 2
> e) f(x)= [mm]b^{x}+ x^{b}[/mm]
>
> f) f(x) = [mm]\bruch{6 e^{x}}{e^{x}+ 5}[/mm]
> Hallo Ich habe diese
> Aufgaben auf. Hinweis ln bedeutet natürlicher
> Logartithmus.
> Ich weiß , dass die Ableitung von ln [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist.
> Wieso ist das so und ist das auch richtig?
Hallo,
ja das stimmt.
Warum das so ist, kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
> dann wäre die Anleitung von a) [mm]\bruch{1}{x+1}[/mm] oder?
Ja.
Da es eine verkettung von Funktionen ist, mußt Du eigentlich noch mit der Ableitung v. (x+1) multiplizieren, aber die ist ja =1.
zu b) [mm] k^x= (e^{lnk})^x
[/mm]
zu c) Kettenregel beachten
zu d) [mm] Log_2(x)=\bruch{lnx}{ln2}. [/mm] Das folgt aus y=log_2x <==> [mm] 2^y=x
[/mm]
> Kann mir denn jemand tipps zu den anderen Aufgaben geben.
> NUR TIPPS. Bei e bin ich mir nicht sicher aber ist die
> ableitung da nicht: f´(x)= ln(b) * [mm]b^x[/mm] + [mm]bx^{b-1}[/mm]
Ja, richtig!
>
> Wir hatten nämlich folgene Ableitungsformel
> f(x) = [mm]b^{x}[/mm]
> f´(x)= [mm]ln(b)*b^{x}[/mm]
Wenn Du Dir anschaust, was ich oben geschrieben habe, verstehtst Du vielleicht, warum das so ist.
f) Quotientenregel verwenden und beachten, daß die Ableitung v. [mm] e^x [/mm] wieder die Funktion [mm] e^x [/mm] ist.
Gruß v. Angela
>
> danke im vorraus für hilfe
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danke schonmal für deine schnelle antwort.. aber deine datei für die erllärung warum die ableitung von ln 1/x ist ist nicht vorhanden.
Ich habe mal versucht die aufgaben mit deiner hilfestellung zu berechnen.
b) teilweise : f´(x) =1* [mm] k^x [/mm] + k* (ln(k) [mm] *k^x)
[/mm]
die habe ich mit der Produktregel gemacht , aber ich weiß nicht wie ich k^-x ableiten soll. Kannst du mir da behilflich sein?
c) Wo soll ich da die kettenregel anwenden? kann man,dass da nicht wie bei a) machen einfach 1/ [mm] \wurzel{x+2} [/mm] oder geht das nicht und wenn nicht warum?
d) bekomm ich trotzdem nicht hin. vllt kannst du mir ja noch nen tipp geben
f) habe ich jetzt f´(x) = [mm] \bruch{6e^x *( e^x+5)- (6e^x* e^x}{(e^x+5)^2}
[/mm]
ist das richtig? oder kann man es noch irgendwie kürzen?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Di 26.08.2008 | | Autor: | pelzig |
Betrachte die Gleichung [mm] $e^{\ln x}=x$ [/mm] für [mm] $x\in\IR_+$. [/mm] Ableiten auf beiden Seiten gibt [mm] $e^{\ln x}\cdot(\ln x)'=1\gdw(\ln [/mm] x)'=1/x$.
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Hallo mathe_jazzy_
Deine Lösung zu f) ist richtig; du kannst im Zähler noch [mm] 6e^{x} [/mm] ausklammern und vereinfachen
zu c) gibt es einen Trick damit Du die Kettenregel vermeiden kannst: Schreib einfach die Wurzel als Exponent!
[mm] ln\wurzel{x+2} [/mm] = [mm] ln(x+2)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln(x+2)
Damit ist die Ableitung einfach
[mm] \bruch{1}{2(x+2)}
[/mm]
ok?
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ja ok... jetzt hab ich c verstanden. aber d verstehe ich noch net. kann mir da noch jemand helfen? und kann mir jeman auch bei b) behilfkich sein wie das mit dem k^-x ist?
danke schonmal für eure schnelle hilfe.. habe dadurch schn viel verstanden^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo
Bei der b) $f(x)= [mm] k\cdot{}k^{x}- k^{-x} [/mm] $
hilft es, wenn du [mm] k^x [/mm] umschreibst.
Es ist
[mm] e^{ln(k)*x} [/mm] = [mm] k^x
[/mm]
Analog für das mit dem Minus, also gilt
$f(x)= [mm] k\cdot{}k^{x}- k^{-x} [/mm] = k * [mm] e^{ln(k)*x} [/mm] - [mm] e^{-ln(k)*x} [/mm] $
Ich gehe davon aus, dass du die E-Funktion ableiten kannst?!
MfG!
Disap
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Hab da mal versucht eine Lösung zu b) mit der Hilfe zu finden ... vllt kann die ja jemand korrigieren.? Hab die Produktregel angwandt
f´(x)= ( 1* [mm] e^{ln(k)*x}+k*ln(k)* e^{ln(k)*x})- [/mm] (- [mm] ln(k)*e^{-ln(k)*x}
[/mm]
Kann man das vllt noch zusammen fassen falls es stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jazzy_mathe_!
Da Du hier nach der Variablen $x_$ (und nicht $k_$ !) ableitest, ist die Anwendung der  Produktregel überflüssig.
Oder aber Du setzt hier auch korrekt ein mit $k' \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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Ach ja^^ Dummer fehler^^
dann ist die Ableitung also f´(x) = k*( [mm] ln(k)*k^x) [/mm] - (-ln(k)* k^-x)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jazzy_mathe!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun noch etwas zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Disap |
Moin.
Es gibt auch noch einen Trick zur Aufgabe d)
Vermutlich hast du das Problem, die Ableitung von [mm] log_2(x) [/mm] zu bestimmen?
Dazu hilft dir der Trick, dass folgendes gilt:
[mm] $log_2(x) [/mm] = [mm] \frac{ln(x)}{ln(2)}$
[/mm]
Die Ableitung des ln(x) sollte man immer im Kopf haben!
Also musst du noch folgendes differenzieren:
$f(x) [mm] =log_{2}(x) [/mm] + x+ 2 [mm] =\frac{ln(x)}{ln(2)} [/mm] + x +2$
Schaffst du das?
Viele Grüße
Disap
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Mit diesem Ansatz wäre die Ableitung dann
f´(x) = [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{2}}+1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{x}+1
[/mm]
stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jazzy_mathe_!
[mm] $\ln(2)$ [/mm] ist eine Konstante, die beim Ableiten erhalten bleibt.
Gruß
Loddar
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Achso... aber wie kann ich das erklären wenn der Lehrer mich fragt, warum es eine Konstante ist. Liegt es daran, dass es wie bei normalen ableitungen ein Faktor ist der davor steht also hier dann 1/ ln(2)?
danke schonmal für deine schnellen antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jazzy!
> Liegt es daran, dass es wie bei normalen ableitungen ein Faktor ist der
> davor steht also hier dann 1/ ln(2)?
Genau ...
Gruß
Loddar
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> zu c) gibt es einen Trick damit Du die Kettenregel
> vermeiden kannst: Schreib einfach die Wurzel als Exponent!
> [mm]ln\wurzel{x+2}[/mm] = [mm]ln(x+2)^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ln(x+2)
> Damit ist die Ableitung einfach
> [mm]\bruch{1}{2(x+2)}[/mm]
Warum darf man die 1/2 einfach davor schreiben? obwohl sie vorher im exponenten war.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jazzy_mathe_!
Es handelt sich hierbei um ein Logarithmusgesetz mit:
[mm] $$\log_b\left( \ a^m \ \right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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könnte man die aufgabe auch ohne logarithmusgesetzt lösen, da wir das noch nicht in der schule hatten?
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achso ok.. ne dann lass ich das so^^.. dann hatte ich das in der zehnten doch schonmal^^
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