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| Aufgabe | 1) f(x)=x* sin x
f'(x)=sin x+ cos x
[mm] 2)f(x)=x^3* [/mm] sin x
f'(x)= 2x^2sin x+cos [mm] x^3 [/mm] |
Hallo,
ich hätte paar Fragen und zwar wie leitet man Wurzeln ab?
Konkret meine ich [mm] \wurzel{x} [/mm] und wie leitet man Brüche ab? Speziell: 1/x?
Und sind die oberen Beispiele richtig?
Grüße
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Hallo Tokhey-Itho,
> 1) f(x)=x* sin x
> f'(x)=sin x+ cos x
>
> [mm]2)f(x)=x^3*[/mm] sin x
> f'(x)= 2x^2sin x+cos [mm]x^3[/mm]
> Hallo,
>
> ich hätte paar Fragen und zwar wie leitet man Wurzeln ab?
> Konkret meine ich [mm]\wurzel{x}[/mm] und wie leitet man Brüche
> ab? Speziell: 1/x?
Wurzeln kannst Du gemäß den Potenzgesetzen umschreiben:
[mm]\wurzel{x}=x^{1/2}[/mm]
Und dann mit Hilfe der Potenzregel ableiten.
Generell sind Brüche gemäß der Quotientenregel abzuleiten.
Bei dem Beispiel, kannst Du die Qoutientenregel anwenden.
Es bietet sich aber an den Bruch umzuformen:
[mm]\bruch{1}{x}=x^{-1}[/mm]
Damit kannst Du wiederum die Potenzregel anwenden.
> Und sind die oberen Beispiele richtig?
Nicht ganz. Den zweiten Summanden bei den Ableitungen
mußt Du Dir nochmal anschauen.
Die Ableitung bei den zwei Aufgaben bildest Du mit Hilfe der Produktregel.
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | f(x)=x* sin x
u(x)=x v(x)=sin x
u'(x)=1 v'(x)=cos
1*sinx+cos*1
Oder was ist hier falsch?
u und v sind richtig abgeleitet? oder ist die ableitung von sin nicht cos? |
Und nochmal was, wenn ich dann 1/x als x^-1 schreiben kann, dann ist die Ableitung -1x ?
Grüße und vielen Dank für die Erklärungen!
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Hallo Tokhey-Itho,
> f(x)=x* sin x
>
> u(x)=x v(x)=sin x
> u'(x)=1 v'(x)=cos [mm] \red{x}
[/mm]
> 1*sinx+cos*1 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Oder was ist hier falsch?
> u und v sind richtig abgeleitet?
Ja, fast. Es fehlte noch das Argument des Cosinus! Vielleicht ist das das ganze Problem. Man merkt sich zwar "Ableitung von Sinus ist Cosinus", aber das ist ja nur Umgangssprache. Einen alleinstehenden Sinus kann man nicht ableiten, weil das ja nur eine trigonometrische Funktion von etwas ist. [mm] \sin{a} [/mm] kann ich (hier: nach a) ableiten, das ergibt [mm] \cos{a}. [/mm] Wenn ich nach t ableite, ergibt sich aber 0. Und ein [mm] \sin [/mm] ohne Argument ist ein Nichts, sondern mathematischer Unsinn. Das ergibt also höchstens abgeleiteten Unsinn.
> oder ist die ableitung
> von sin nicht cos?
Nein, siehe oben. Aber die Ableitung von [mm] \sin{x} [/mm] nach x ist [mm] \cos{x}
[/mm]
- also mathematisch notiert: [mm] \bruch{d\sin{x}}{\\dx}=\cos{x}
[/mm]
> Und nochmal was, wenn ich dann 1/x als x^-1 schreiben
> kann, dann ist die Ableitung -1x ?
Nein, ganz regelmäßig: [mm] \bruch{\\d{x^n}}{\\{dx}}=nx^{n-1}
[/mm]
Die Ableitung von [mm] x^{-1} [/mm] ist also [mm] -x^{-2}=-\bruch{1}{x^2}
[/mm]
> Grüße und vielen Dank für die Erklärungen!
lg
reverend
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Gut, die Ableitung von -x^-^2 ist also [mm] -1/x^2 [/mm] (?)
Dann muss die Ableitung von 1/x, x sein?
Ist das Beispiel (ist als schwierig markiert) richtig?
x*1/x
u(x)=x v(x)=1/x
u'(x)=1 v'(x)= x (?)
[mm] f'(x)=1/x+x^2
[/mm]
Und noch ein Beispiel
[mm] f(x)=(7x^2+5x+3)*\wurzel{x}
[/mm]
[mm] u(x)=7x^2+5x+3 v(x)=\wurzel{x}
[/mm]
u'(x)=14x+5 v'(x)=1/2x
Weiter hab ich vorerst nicht gerechnet, weil ich jetzt weiß, ob das richtig ist...
Und Die Ableitung von $ [mm] x^{-1} [/mm] $ ist also $ [mm] -x^{-2}=-\bruch{1}{x^2} [/mm] $
Wie komme ich auf -2?
Grüße und Danke für Hilfe!
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Hallo!
Schau dir doch nochmal das Ableitungsgesetz genau an, und setze es auch exakt um.
Es gilt doch [mm] (x^n)'=nx^{n-1}
[/mm]
Nun ist [mm] \frac{1}{x^2}=x^{-2}
[/mm]
Und nun:
[mm] (x^{-2})'=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}
[/mm]
Ensprechend:
[mm] (x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}
[/mm]
Und zur Wurzel:
[mm] \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}
[/mm]
[mm] (\sqrt[n]{x})'=(x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}
[/mm]
also [mm] (\sqrt{x})'=(\sqrt[2]{x})'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}
[/mm]
Zu der ersten Aufgabe:
x*1/x Der Definitionsbereich ist [mm] \IR\backslash0 [/mm] , und ansonsten ist die Funktion stets =1, die Ableitung muß also immer =0 sein. Schau mal, ob du das hinbekommst, wenn du dein v'(x) korrigierst.
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