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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mo 03.05.2010 | | Autor: | damulon |
| Aufgabe | Berechnen sie für die folgende Funktion die Ableitung.
1.) f(x)= ln [mm] \wurzel{\bruch{1-x}{1+x}}
[/mm]
2.) f(x)= arccsc(x) |
hi,
ich hab ein problem bei diesen beiden aufgaben.
bei der 1 bin ich mir nicht sicher ob mein rechenweg richtig ist;krieg da was falsches raus.
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{1-x}{1+x}}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}* \wurzel{\bruch{1+x}{1-x}} [/mm] = [mm] \bruch{1+x}{(1-x)*2} [/mm]
ich glaub ich hab da irgendwas falsch abgeleitet, jedoch weiß ich net wie ich da weitermachen soll.
bei der 2.) wäre mein ansatz des ich vom arccsc über die umkehrfkt die ableitung berechen bin mir da aber auch net sicher.
hoff ihr könnt mir helfen.
lg damulon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mo 03.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo damulon!
Du kannst Dir die Ableitung hier drastisch vereinfachen, wenn Du vor dem Ableiten mit Hilfe der  Logarithmusgesetze umformst:
$$f(x) \ = \ [mm] \ln\left( \ \wurzel{\bruch{1-x}{1+x}} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left[ \ \left(\bruch{1-x}{1+x}\right)^{\bruch{1}{2}} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(\bruch{1-x}{1+x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[ \ \ln(1-x)-\ln(1+x) \ \right]$$
[/mm]
Damit ist die Ableitung doch nur ein Klacks ...
Gruß
Loddar
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Hallo,
> bei der 2.) wäre mein ansatz des ich vom arccsc über die
> umkehrfkt die ableitung berechen bin mir da aber auch net
> sicher.
Genau, das kannst du machen; alternativ kannst du aber auch erst die Umkehrfunktion bestimmen und dann ableiten (wenn du die Ableitung von arcsin(x) kennst). Also, such' dir einen Weg aus!
Es gilt [mm] $\csc(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sin(x)}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Mo 03.05.2010 | | Autor: | damulon |
hi
danke euch beiden...hat mir sehr geholfen...
lg damulon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 03.05.2010 | | Autor: | damulon |
hi steppenhahn,
hab da noch ne frage zu deiner idee...
hab jetzt die umkehrfkt gebildet,diese abgeleitet und dann wieder die umkehrfkt des sin eingesetzt und hab dann dies ausdruck stehen:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{cos(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos(\bruch{1}{arcsin(x)})}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{cos(\bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos(\wurzel{1-x^2})}
[/mm]
kann des stimmen??
als lösung kommt aber - [mm] \bruch{1}{x*\wurzel{x^2-1}} [/mm] raus...
stimmt den mein weg überhaupt??
lg damulon
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Hallo!
> hi steppenhahn,
> hab da noch ne frage zu deiner idee...
> hab jetzt die umkehrfkt gebildet,diese abgeleitet und dann
> wieder die umkehrfkt des sin eingesetzt und hab dann dies
> ausdruck stehen:
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{cos(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{cos(\bruch{1}{arcsin(x)})}=[/mm]
> [mm]\bruch{1}{cos(\bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}})}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{cos(\wurzel{1-x^2})}[/mm]
>
> kann des stimmen??
> als lösung kommt aber - [mm]\bruch{1}{x*\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> raus...
Ich verstehe leider nicht, was du oben gerechnet hast...
Hast du nun die Umkehrregel für Ableitungen benutzt oder die Umkehrfunktion separat ausgerechnet?
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Umkehrfunktion separat:
[mm] $\csc(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sin(x)} \Rightarrow [/mm] arccsc(x) = [mm] \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)$
[/mm]
Nun mit Hilfe der Kettenregel und [mm] $\arcsin'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ [/mm] ableiten!
$arccsc'(x) = [mm] \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\right)' [/mm] = ...$
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Umkehrregel der Ableitung:
[mm] $(f^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
[/mm]
Hier also: $f(x) = [mm] \csc(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\sin(x)}$, [/mm] noch zu berechnen: $f'(x) = ...$
$arccsc'(x) = [mm] \frac{1}{f'\left(arccsc(x)\right)} [/mm] = ... $
Grüße,
Stefan
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