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Ableitungen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:14 Di 24.01.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Seien $I=(0,a) (a > 0)$ ein Intervall in [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $f:\bar [/mm] I [mm] \times \bar [/mm] I , [mm] (x,t)\mapsto [/mm] f(x,t)$ stetig. Für alle [mm] $x\in \bar [/mm] I , [mm] t\in \bar [/mm] I$ existiere
[mm] $g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)$ [/mm]
Weiter sei g in [mm] $\bar [/mm] I [mm] \times \bar [/mm] I$ stetig. Berechnen Sie folgende Ableitung.
[mm] $\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}$. [/mm]
$(ii)$ Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabenteil $(i)$ folgende Ableitung.
[mm] $\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}$ [/mm]

Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle daran.
Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe auf Hilfe.

Vielen Dank
LG
Dudi

        
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:14 Di 24.01.2012
Autor: fred97


> Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
>  [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
>  Weiter sei g in
> [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> Ableitung.
>  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
>  [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus
> Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
>  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle
> daran.
>  Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe auf
> Hilfe.

Wir setzen für t,s [mm] \in [/mm] I: $H(t):= [mm] \int_0^t{f(x,t)dx} [/mm] $ und [mm] $F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm] $.

Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).

Nach dem Hauptsatz ist [mm] F_s(s,t)= [/mm] f(s,t) und weiter ist [mm] $F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm] $.

Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von H(t)=F(t,t)

FRED

>  
> Vielen Dank
>  LG
> Dudi


Bezug
                
Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 Mi 25.01.2012
Autor: DudiPupan


> > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
>  >  [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
>  >  Weiter sei g
> in
> > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > Ableitung.
>  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
>  >  [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus
> > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
>  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
>  >  Hallo zusammen,
>  >  ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle
> > daran.
>  >  Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> auf
> > Hilfe.
>  
> Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
>
> Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
>  
> Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t)

Wie meinst du das?
meinst du [mm]F_s'(s,t)=(\int_0^sf(s,t)ds)'=[/mm] f(s,t)

und weiter ist

> [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
>
> Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> H(t)=F(t,t)
>  
> FRED
>  >  
> > Vielen Dank
>  >  LG
> > Dudi
>  


Bezug
                        
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Mi 25.01.2012
Autor: fred97


> > > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
>  >  >  [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
>  >  >  Weiter
> sei g
> > in
> > > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > > Ableitung.
>  >  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
>  >  >  [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse
> aus
> > > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
>  >  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
>  >  >  Hallo zusammen,
>  >  >  ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber
> verzweifle
> > > daran.
>  >  >  Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> > auf
> > > Hilfe.
>  >  
> > Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> > [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
>  >  
> > Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t)
>  Wie meinst du das?
>  meinst du [mm]F_s'(s,t)=(\int_0^sf(s,t)ds)'=[/mm] f(s,t)


Nein.

Ist J ein Intervall in [mm] \IR [/mm] , a [mm] \in [/mm] J,  [mm] \phi:J \to \IR [/mm] stetig und [mm] \Phi [/mm] :J [mm] \to \IR [/mm] def. durch

            [mm] \Phi(s):=\integral_{a}^{s}{\phi(x) dx}, [/mm]

so besagt der Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung, dass [mm] \Phi [/mm] auf J differenzierbar ist und dass [mm] \Phi [/mm] eine Stammfunktion von [mm] \phi [/mm] auf J ist.

FRED

>  
> und weiter ist
> > [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> > H(t)=F(t,t)
>  >  
> > FRED
>  >  >  
> > > Vielen Dank
>  >  >  LG
> > > Dudi
> >  

>  


Bezug
                
Bezug
Ableitungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:52 Mi 25.01.2012
Autor: DudiPupan


> > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
>  >  [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
>  >  Weiter sei g
> in
> > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > Ableitung.
>  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
>  >  [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus
> > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
>  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
>  >  Hallo zusammen,
>  >  ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber verzweifle
> > daran.
>  >  Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> auf
> > Hilfe.
>  
> Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
>
> Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
>  
> Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t) und weiter ist
> [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
>
> Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> H(t)=F(t,t)

Ich verstehe noch nicht ganz, wie man mit dem von dir oben gegebenen auf H(t,t) kommt, so dass ich die kettenregel anwenden könnte!


Vielen Dank für die Geduld

LD
Dudi

>  
> FRED
>  >  
> > Vielen Dank
>  >  LG
> > Dudi
>  


Bezug
                        
Bezug
Ableitungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:51 Do 26.01.2012
Autor: fred97


> > > Seien [mm]I=(0,a) (a > 0)[/mm] ein Intervall in [mm]\IR[/mm] und [mm]f:\bar I \times \bar I , (x,t)\mapsto f(x,t)[/mm]
> > > stetig. Für alle [mm]x\in \bar I , t\in \bar I[/mm] existiere
>  >  >  [mm]g(x,t):=\frac{\delta}{\delta t}f(x,t)[/mm]
>  >  >  Weiter
> sei g
> > in
> > > [mm]\bar I \times \bar I[/mm] stetig. Berechnen Sie folgende
> > > Ableitung.
>  >  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{f(x,t)dx}[/mm].
>  >  >  [mm](ii)[/mm] Berechnen Sie unter Verwendung der Ergebnisse
> aus
> > > Aufgabenteil [mm](i)[/mm] folgende Ableitung.
>  >  >  [mm]\frac{d}{dt}\int_0^t{e^{-xt}}[/mm]
>  >  >  Hallo zusammen,
>  >  >  ich arbeite gerade an obriger Aufgabe, aber
> verzweifle
> > > daran.
>  >  >  Weiß einfach nicht, wie ich vorgehen soll und hoffe
> > auf
> > > Hilfe.
>  >  
> > Wir setzen für t,s [mm]\in[/mm] I: [mm]H(t):= \int_0^t{f(x,t)dx}[/mm] und
> > [mm]F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Dann ist H(t)=F(t,t) und zu berechnen ist H'(t).
>  >  
> > Nach dem Hauptsatz ist [mm]F_s(s,t)=[/mm] f(s,t) und weiter ist
> > [mm]F_t(s,t)=\int_0^s{g(x,t)dx} [/mm].
> >
> > Nun berechne mit der Kettenregel die Ableitung von
> > H(t)=F(t,t)
>  
> Ich verstehe noch nicht ganz, wie man mit dem von dir oben
> gegebenen auf H(t,t)


Du meinst H(t) ?


>  kommt, so dass ich die kettenregel
> anwenden könnte!
>  
>
> Vielen Dank für die Geduld
>  
> LD
> Dudi
>  
> >  

> > FRED
>  >  >  
> > > Vielen Dank
>  >  >  LG
> > > Dudi
> >  

>  


Wir hatten:   $ H(t):= [mm] \int_0^t{f(x,t)dx} [/mm] $ und $ [mm] F(s,t):=\int_0^s{f(x,t)dx} [/mm] $.

Dann ist doch: $ [mm] F(t,t)=\int_0^t{f(x,t)dx} [/mm] =H(t)$.

FRED

Bezug
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