Ableitungen berechnen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mo 08.04.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
ich habe eine genügend of differenzierbare Funktion $v(t,x)$. Diese erfüllt die PDE
[mm] $v_t+\frac{1}{2}\lambda^2x^2 v_{xx}=0$
[/mm]
wobei [mm] $v_t$ [/mm] für die partiella Ableitung nach $t$ steht etc. Nun gilt [mm] $v(t,x)=e^{-rt}w(t,xe^{rt})$ [/mm] mit [mm] $y:=xe^{rt}$. [/mm] Es wird behaupted, dass folgendes gilt:
[mm] $0=w_t+ryw_y +\frac{1}{2}\lambda^2y^2w_{yy}-rw$
[/mm]
Wieso stimmt das? Was ich gemacht habe bis jetzt: für $v$ entsprechend $w$ eingesetzt und die Ableitungen gemäss der ersten PDE ausgerechnet:
[mm] $v_t=\frac{\partial }{\partial t} e^{-rt}w(t,xe^{rt})=-re^{-rt}w(t,xe^{rt})+e^{-rt}w_t(t,xe^{rt})$
[/mm]
stimmt dies?
Nun weiter: [mm] $\frac{\partial}{\partial x} e^{-rt}w(t,xe^{rt})= e^{-rt}w_x(t,xe^{rt})$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial x}(e^{-rt}w_x(t,xe^{rt})=e^{-rt}w_{xx}(t,xe^{rt})$.
[/mm]
Ich würde also folgende PDE bekommen für $w$:
[mm] $-rw+w_t+\frac{1}{2}\lambda^2y^2w_{yy}$
[/mm]
Mir fehlt also ein Term. Was habe ich falsch gemacht? Danke und Grüsse
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mo 08.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallöchen
>
> ich habe eine genügend of differenzierbare Funktion
> [mm]v(t,x)[/mm]. Diese erfüllt die PDE
>
> [mm]v_t+\frac{1}{2}\lambda^2x^2 v_{xx}=0[/mm]
>
> wobei [mm]v_t[/mm] für die partiella Ableitung nach [mm]t[/mm] steht etc.
> Nun gilt [mm]v(t,x)=e^{-rt}w(t,xe^{rt})[/mm] mit [mm]y:=xe^{rt}[/mm]. Es wird
> behaupted, dass folgendes gilt:
>
> [mm]0=w_t+ryw_y +\frac{1}{2}\lambda^2y^2w_{yy}-rw[/mm]
>
>
> Wieso stimmt das? Was ich gemacht habe bis jetzt: für [mm]v[/mm]
> entsprechend [mm]w[/mm] eingesetzt und die Ableitungen gemäss der
> ersten PDE ausgerechnet:
>
> [mm]v_t=\frac{\partial }{\partial t} e^{-rt}w(t,xe^{rt})=-re^{-rt}w(t,xe^{rt})+e^{-rt}w_t(t,xe^{rt})[/mm]
>
> stimmt dies?
Nein. Wenn Du [mm] w(t,xe^{rt}) [/mm] nach t ableitest, brauchst Du die Kettenregel und bekommst:
[mm] w_t(t,xe^{rt})+w_y(t,xe^{rt})*xre^{rt}.
[/mm]
Weiter unten missachtest Du diese Regel ebenfalls.
FRED
>
> Nun weiter: [mm]\frac{\partial}{\partial x} e^{-rt}w(t,xe^{rt})= e^{-rt}w_x(t,xe^{rt})[/mm]
> und [mm]\frac{\partial}{\partial x}(e^{-rt}w_x(t,xe^{rt})=e^{-rt}w_{xx}(t,xe^{rt})[/mm].
>
> Ich würde also folgende PDE bekommen für [mm]w[/mm]:
>
> [mm]-rw+w_t+\frac{1}{2}\lambda^2y^2w_{yy}[/mm]
>
> Mir fehlt also ein Term. Was habe ich falsch gemacht? Danke
> und Grüsse
>
> hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mo 08.04.2013 | | Autor: | hula |
Hallo fred
> Nein. Wenn Du [mm]w(t,xe^{rt})[/mm] nach t ableitest, brauchst Du
> die Kettenregel und bekommst:
>
> [mm]w_t(t,xe^{rt})+w_y(t,xe^{rt})*xre^{rt}.[/mm]
>
sollte das $+$ nicht ein [mm] $\cdot$ [/mm] sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 08.04.2013 | | Autor: | hula |
Hallo fred
danke für deine schnelle Antwort. So ganz geht das bei mir aber noch nicht auf:
[mm] $v(x,t)=e^{-rt}w(t,y(t,x))$ [/mm]
wobei [mm] $y(t,x)=xe^{rt}$. [/mm] Nun nochmals:
[mm] $v_t=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+e^{-rt}w_y(t,y(t,x))\frac{\partial y}{\partial t}=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+e^{-rt}w_y(t,y(t,x))xre^{rt}=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+w_y(t,y(t,x))xr$
[/mm]
Stimmt dies soweit?
Nun nach $x$:
[mm] $v_x=e^{-rt}w_y(t,y(t,x))\frac{\partial y}{\partial x}=e^{-rt}w_y(t,y(t,x))e^{rt}=w_y(t,y(t,x))$
[/mm]
daher
[mm] $v_{xx}=w_{yy}e^{rt}$, [/mm] so dass ich insgesammt erhalte:
[mm] $e^{-rt}\left[-rw(t,y(t,x))+xrw_y(t,y(t,x))+\frac{1}{2}\lambda^2y(t,x)^2w_{yy} \right]=0$
[/mm]
Leider fehlt mir immer noch ein Term. Wo liegt den nun der Fehler?
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Hallo hula,
> Hallo fred
>
> danke für deine schnelle Antwort. So ganz geht das bei mir
> aber noch nicht auf:
>
> [mm]v(x,t)=e^{-rt}w(t,y(t,x))[/mm]
>
> wobei [mm]y(t,x)=xe^{rt}[/mm]. Nun nochmals:
>
> [mm]v_t=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+e^{-rt}w_y(t,y(t,x))\frac{\partial y}{\partial t}=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+e^{-rt}w_y(t,y(t,x))xre^{rt}=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+w_y(t,y(t,x))xr[/mm]
>
Es fehlt hier:
[mm]v_t=-re^{-rt}w(t,y(t,x))+e^{-rt}\left(\red{w_t(t,y(t,x))}+w_y(t,y(t,x))\frac{\partial y}{\partial t}\right)[/mm]
> Stimmt dies soweit?
>
> Nun nach [mm]x[/mm]:
>
> [mm]v_x=e^{-rt}w_y(t,y(t,x))\frac{\partial y}{\partial x}=e^{-rt}w_y(t,y(t,x))e^{rt}=w_y(t,y(t,x))[/mm]
>
> daher
>
> [mm]v_{xx}=w_{yy}e^{rt}[/mm], so dass ich insgesammt erhalte:
>
> [mm]e^{-rt}\left[-rw(t,y(t,x))+xrw_y(t,y(t,x))+\frac{1}{2}\lambda^2y(t,x)^2w_{yy} \right]=0[/mm]
>
> Leider fehlt mir immer noch ein Term. Wo liegt den nun der
> Fehler?
Gruss
MathePower
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