Ableitungen (kettenregel?) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Chepri |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich hab da mal eine frage zu der Kettenregel, oder generell zu den Ableitungen:
Wie leite ich z.B.
[mm] y=3x(2x-3)^2 [/mm]
ab??
das mit innere und äußere Ableitungs habe ich ja verstanden, aber dieses 3x macht mir zu schaffen!!
Danke im Voraus!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 22:09 Mo 20.09.2004 | | Autor: | criston |
hmm ich wuerde die funktion auflösen und dann ableiten
also vllt so bin mir aber nicht sicher
y= 3x (2x - 3 ) ^2
y = 3 x ( 4 [mm] x^2 [/mm] - 9 )
y = 12 x ^3 - 9
y´ = [mm] 36x^2 [/mm]
naja ist bestimmt total falsch ...
vllt sollte man wenn man angetrunken ist nicht versuchen noch zu denken
sowas hatten wir noch nich ;>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ihr beiden,
zu der Antwort von criston:
> hmm ich wuerde die funktion auflösen und dann ableiten
Das kannst du hier auch noch, weil die Funktion relativ simpel ist.
(Dennoch hast du später ein paar kleine Fehler gemacht.)
Aber es ist, wenn es nicht explizit anders gefordert ist, auch nicht falsch, so vorzugehen! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also vllt so bin mir aber nicht sicher
>
> y= 3x (2x - 3 ) ^2
>
> y = 3 x ( 4 [mm]x^2[/mm] - 9 ) (*)
Hier ist ein Fehler (die letzte Zeile), richtig ginge es (zweite binomische Formel (nicht die dritte) oder per ausmultiplizieren) so:
[mm] $y=3x(4x^2-2*(2x)*3+9)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y=3x(4x^2-12x+9)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y=12x^3-36x^2+27x$, [/mm] und damit folgt dann:
[mm] $y'=36x^2-72x+27$
[/mm]
> y = 12 x ^3 - 9
>
> y´ = [mm]36x^2[/mm]
>
> naja ist bestimmt total falsch ...
Ja, es ist falsch, weil du oben einen Fehler hattest (siehe (*)). Aber ansonsten hättest du die Ableitung zu $g(x)= 3 x ( 4 [mm] x^2 [/mm] - 9 )$ leider auch falsch ausgerechnet (weil du beim Ausmultiplizieren auch einen Fehler gemacht hast, du hast gerechnet:
$y = 3 x ( 4 [mm] x^2 [/mm] - 9 )$
[mm] $y=12x^3-9$
[/mm]
Du hättest (dann) aber rechnen müssen:
$y = 3 x ( 4 [mm] x^2 [/mm] - 9 )$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y=12x^3-27x$), [/mm] denn es ist
$g(x)=3 x ( 4 [mm] x^2 [/mm] - 9 [mm] )=12x^3-27x$ [/mm] und damit:
[mm] $g'(x)=36x^2-27$.
[/mm]
> vllt sollte man wenn man angetrunken ist nicht versuchen
> noch zu denken
Doch!  Aber auch wenn du nicht angetrunken gewesen wärst, würde dir niemand hier etwas übelnehmen. Der gute Wille war/ist da, und das ist es, was zählt! 
Aber falls jemand fragt, so kannst du ja sagen, es seien Flüchtigkeitsfehler gewesen, weil du angetrunken warst!
PS: Wenn du aber merkst, dass nur noch Unsinn herauskommt, wenn du angetrunken bist, dann wartest du doch besser wieder, bis du nüchtern bist (bzw. bis du klar denken kannst), bevor du antwortest. Aber denken solltest du in jedem Zustand!
Es war hier aber schon okay, dass du versucht hast, zu helfen!
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Chepri |
ich habe eben gemerkt, dass es noch andere Regeln als die Kettenregel gibt :P
Man muss hier die Produkt und die Kettenregel benutzen!
Produktregel ist ja f '(x) g(x) + f(x) g'(x)
und die Kettenregel ist f '(g(x)) g'(x)
Also alles zusammen ist nachher:
[mm] 3(2x-3)^2+3x*3*2(2x-3)
[/mm]
Ausmultiplizieren krieg ich nun grad auch noch so hin :P
Ab danke für deine Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Di 21.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chepri,
die Frage ist ja eigentlich schon komplett von Marc beantwortet. Aber ich wollte dir an diesem Beispiel erklären, welche Strategie du "durch sehen" wählen kannst, um deine Aufgabe zu lösen.
Du hast ja:
[mm]y=3x(2x-3)^2[/mm]
gegeben. Da sieht man doch ein Produkt, und zwar $3x * [mm] (2x-3)^2$. [/mm] Die Produktregel ist dir bekannt, sie besagt (in Kurzform, auf Voraussetzungen verzichte ich):
$(u*v)'=u'*v+u*v'$, oder, vermutlich ist es dir so geläufiger:
Mit $f(x)=u(x)*v(x)$ gilt:
$f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$.
Mit $u(x):=3x$ und [mm] $v(x):=(2x-3)^2$ [/mm] erhalten wir also:
$y=u(x)*v(x)$ und damit nach der Produktregel:
(I) $y'=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$.
Hier kennst du
(II) $u(x)=3x$, [mm] $v(x)=(2x-3)^2$ [/mm] und auch $u'(x)=3$
erkennst du relativ schnell. Nur das $v'(x)$ macht auf den ersten Blick Probleme. Setzen wir aber trotzdem schon einmal alles (also die drei Gleichungen) aus (II) in (I) ein, so wissen wir schon:
(III) [mm] $y'=3*(2x-3)^2+3x*v'(x)$.
[/mm]
Jetzt kümmern wir uns um $v'(x)$, denn wenn wir damit fertig sind, dann haben wir unser $y'$ komplett!
Du hast (vermutlich) schon erkannt, dass die Funktion $v$ eine Verknüpfung von Funktionen ist. Es gilt z.B.:
$v(x)=g(h(x))$ mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] und $h(x):=2x-3$. Nach der Kettenregel gilt also:
$v'(x)=g'(h(x))*h'(x)$. Weil $g'(x)=2x$ ist, folgt [m]g'(h(x))=2*h(x)=2*(2x-3)[/m]. Außerdem ist $h'(x)=2$, also wissen wir:
(IV) $v'(x)=g'(h(x))*h'(x)=2*(2x-3)*2$
Setzen wir (IV) in (III) ein, so haben wir:
[mm] $y'=3*(2x-3)^2+3x*2*(2x-3)*2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y'=3*(2x-3)^2+3*2*2*x*(2x-3)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y'=3(4x^2-12x+9)+12x(2x-3)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y'=12x^2-36x+27+24x^2-36x$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y'=36x^2-72x+27$.
[/mm]
Ich habe dir das alles noch einmal geschrieben, damit du einmal Schritt für Schritt siehst, dass man derartige Aufgaben auch Schritt für Schritt lösen kann.
Es ist also ein Versuch meinerseits, dir anhand dieses Beispiels eine kleine Anleitung für derartige Aufgaben zur Verfügung zu stellen. Hoffen wir, dass sie dir auch hilft.
PS: @Marc: Nein, du hast dich nirgends verrechnet!
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:01 Di 21.09.2004 | | Autor: | Chepri |
vielen dank an euch alle, jetzt steht meinen 15 punkten in Mathe ja nix mehr im wege :)
ich hatte das schon alles letztes jahr, konnte mich nur nicht mehr wirklich erinnern!!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
