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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Do 14.09.2006 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
wir sind in der Schule im Moment bei Integralrechnung. Nur leider bin ich bei Ableitungen bilden nicht mehr so fit, und somit fällt es mir auch schwer Stammfunktionen herzuleiten. (Bei Brüchen, Wurzeln, oder "Bruch-Potenzen" )
Kann mir z.b. jemand bei der Aufgabe mal erklären, wie man hier einmal die ABleitung und einmal die Stammfunktion bildet?
[mm] \bruch{3}{2*\wurzel{3x+1}}
[/mm]
danke =)
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Hallo Vicky89,
> Kann mir z.b. jemand bei der Aufgabe mal erklären, wie man
> hier einmal die ABleitung und einmal die Stammfunktion
> bildet?
>
> [mm]f(x) := \bruch{3}{2*\wurzel{3x+1}}[/mm]
Also normalerweise ist es bei solchen Funktionen gar nicht so einfach das Ganze zu integrieren. Allerdings ist hier die Aufgabe so gestellt, daß einem beim Ableiten etwas auffällt. Wir leiten also erstmal mit der Quotientenregel ab. (Man könnte natürlich auch sofort die Kettenregel nehmen, aber dann sieht man's nicht so deutlich):
[mm]f'(x) = \frac{\frac{\partial}{\partial x}(1.5)\sqrt{3x+1} - 1.5 \overbrace{\green{\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{3x+1}}}^{\texttt{Kettenregel}}}{\sqrt{3x+1}^2} = \frac{0-1.5\cdot{\overbrace{\blue{3}\cdot{\textcolor{magenta}{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{1}{(\blue{3}x+1)^{\textcolor{magenta}{0.5}}}}}}^{\textcolor{green}{\star}}}}{3x+1}[/mm]
Damit hätten wir die Ableitung dieser Funktion gebildet. Du müßtest jetzt nur noch zusammenfassen. Aber wir haben beim Ableiten noch etwas bemerkt, nämlich:
[mm]\textcolor{green}{\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{3x+1}} = \overbrace{\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}}^{\textcolor{green}{\star}}[/mm]
Also gilt nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung:
[mm]\sqrt{3x+1} = \int{\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}\mathrel\operatorname{d}\!x},[/mm]
womit wir deine Funktion beim Ableiten auch "gleichzeitig integriert" haben. Allerdings war die Aufgabe hier einfach günstig gestellt. 
Viele Grüße
Karl
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