Ableitungen (von Umkehrfkt) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Aufgabe2:
Bestimmen Sie durch Anwendung von Rechenregeln die Ableitung von...
[mm] (a)...x^{x^{x}} [/mm]
(b)...arccos [mm] (3*x^{-5/2}) [/mm]
[mm] (c)...arctan(x^{2}) [/mm]
Geben Sie explizit an, in welchen Punkten diese Funktionen definiert sind und in welchen Punkten sie diff.-bar ist!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bin es wieder,
Ist das soweit richtig? Wenn nicht sagt mir mal bitte was ich ändern muss?
Bei den Lösungsansätzen sind auch noch zwei fragen eingebaut einmal bei b und einmal bei c
Vielen Dank im Vorraus!
mfg Ultio
(a)
f(x) = [mm] x^{x^{x}} [/mm] = [mm] e^{x^{x }* ln(x)} [/mm] = e [mm] ^{e^{x*ln(x)} * ln (x)} [/mm] definiert auf ganz R
f'(x) = e [mm] ^{e^{x*ln(x)} * ln (x)} [/mm] * ((ln(x)+1) * ln(x) + 1/x * [mm] e^{x*ln(x)}) [/mm] = [mm] x^{x^{x}} [/mm] * [mm] (x^{x} [/mm] * (ln(x) + 1) * ln(x) + [mm] x^{x-1})
[/mm]
(b)
[mm] arccos(3*x^{-5/2}) [/mm] = arccos (y) (auf x>= 0 definiert, x aus R)
(arccos(y))' = siehe Aufgabe 1(b)(i) = 1 / (-(1 - [mm] y^2)^{1/2)})
[/mm]
Frage: kann ich y einfach substituieren (?), denn dann ergibt es da:
(arccos(y))' = 1 / (-(1 - [mm] (3*x^{-5/2})^{2})^{1/2)})
[/mm]
Oder muss ich noch mit der inneren Ableitung multiplizieren (Meinung eines Kommilitonen):
(arccos(y))' = - 7,5 x ^{-7/2} * (1 / (-(1 - [mm] (3*x^{-5/2})^{2})^{1/2}) [/mm]
(c)
[mm] arctan(x^2) [/mm] = arctan(y) (auf ganz R definiert)
(arctan(y))' = 1 / ((tan)'(arctan(y))) = 1 / (1 / [mm] (cos(arctan(y))^{2})) [/mm]
hier dieselbe Frage wie in (b) =
wenn ich einfach substituiere erhalte ich:
(arctan(y))' = [mm] (cos(arctan(y))^{2})) [/mm] = [mm] (cos(arctan(x^{2}))^{2})) [/mm]
oder wenn ich mit innerer Ableitung Multipliziere, erhalte ich:
(arctan(y))' = (2*x) / [mm] (cos(arctan(y))^{2})) [/mm] = (2*x) / [mm] (cos(arctan(x^{2}))^{2})) [/mm]
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Hallo Ultio,
> Aufgabe2:
> Bestimmen Sie durch Anwendung von Rechenregeln die
> Ableitung von...
> [mm](a)...x^{x^{x}}[/mm]
> (b)...arccos [mm](3*x^{-5/2})[/mm]
> [mm](c)...arctan(x^{2})[/mm]
> Geben Sie explizit an, in welchen Punkten diese Funktionen
> definiert sind und in welchen Punkten sie diff.-bar ist!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich bin es wieder,
> Ist das soweit richtig? Wenn nicht sagt mir mal bitte was
> ich ändern muss?
>
> Bei den Lösungsansätzen sind auch noch zwei fragen
> eingebaut einmal bei b und einmal bei c
>
> Vielen Dank im Vorraus!
> mfg Ultio
>
>
>
> (a)
> f(x) = [mm]x^{x^{x}}[/mm] = [mm]e^{x^{x }* ln(x)}[/mm] = e [mm]^{e^{x*ln(x)} * ln (x)}[/mm]
> definiert auf ganz R
>
> f'(x) = e [mm]^{e^{x*ln(x)} * ln (x)}[/mm] * ((ln(x)+1)
> * ln(x) + 1/x * [mm]e^{x*ln(x)})[/mm] = [mm]x^{x^{x}}[/mm] * [mm](x^{x}[/mm] * (ln(x)
> + 1) * ln(x) + [mm]x^{x-1})[/mm]
Besser:
[mm]\blue{f'\left(x\right)=x^{x^{x}}*\left(x^{x}*\ln\left(x\right)*\left(\ln\left(x\right)+1\right)+x^{x-1}\right)}[/mm]
>
> (b)
> [mm]arccos(3*x^{-5/2})[/mm] = arccos (y) (auf x>= 0 definiert,
> x aus R)
>
> (arccos(y))' = siehe Aufgabe 1(b)(i) = 1 / (-(1 -
> [mm]y^2)^{1/2)})[/mm]
>
> Frage: kann ich y einfach substituieren (?), denn dann
> ergibt es da:
> (arccos(y))' = 1 / (-(1 - [mm](3*x^{-5/2})^{2})^{1/2)})[/mm]
>
> Oder muss ich noch mit der inneren Ableitung multiplizieren
> (Meinung eines Kommilitonen):
> (arccos(y))' = - 7,5 x ^{-7/2} * (1 / (-(1 -
> [mm](3*x^{-5/2})^{2})^{1/2})[/mm]
Der Kommolitone hat recht.
[mm]\blue{\left( \ \arccos\left( \ 3*x^{-\bruch{5}{2}} \ \right) \ \right)'=\bruch{-7,5 x^{-\bruch{7}{2}}}{\wurzel{1-\left( \ 3*x^{-\bruch{5}{2}} \ \right)^{2}}}}[/mm]
>
> (c)
> [mm]arctan(x^2)[/mm] = arctan(y) (auf ganz R definiert)
> (arctan(y))' = 1 / ((tan)'(arctan(y))) = 1 / (1 /
> [mm](cos(arctan(y))^{2}))[/mm]
>
> hier dieselbe Frage wie in (b) =
> wenn ich einfach substituiere erhalte ich:
> (arctan(y))' = [mm](cos(arctan(y))^{2}))[/mm] =
> [mm](cos(arctan(x^{2}))^{2}))[/mm]
> oder wenn ich mit innerer Ableitung Multipliziere, erhalte
> ich:
> (arctan(y))' = (2*x) / [mm](cos(arctan(y))^{2}))[/mm] = (2*x) /
> [mm](cos(arctan(x^{2}))^{2}))[/mm]
>
[mm]\blue{\cos\left(\left(arctan\left(x^{2}\right)\right)}[/mm] kann man noch anders schreiben.
Grundsätzlich ist bei verketteten Funktionen mit der Kettenregel zu arbeiten.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Ultio |
zu(b)
> [mm]\blue{\left( \ \arccos\left( \ 3*x^{-\bruch{5}{2}} \ \right) \ \right)'=\bruch{-7,5 x^{-\bruch{7}{2}}}{\wurzel{1-\left( \ 3*x^{-\bruch{5}{2}} \ \right)^{2}}}}[/mm]
Müsste das nicht so lauten:
> [mm]\blue{\left( \ \arccos\left( \ 3*x^{-\bruch{5}{2}} \ \right) \ \right)'=\bruch{7,5 x^{-\bruch{7}{2}}}{\wurzel{1-\left( \ 3*x^{-\bruch{5}{2}} \ \right)^{2}}}}[/mm]
da im Nenner und Zähler Vorzeichen - ist?
zu (c)
> [mm]\blue{\cos\left(\left(arctan\left(x^{2}\right)\right)}[/mm] kann
> man noch anders schreiben.
>
mmh? weiß gerade überhaupt nicht was du damit meinst?
die Ableitung ist doch: 2*x * [mm] (cos^{2}(arctan(x^{2}))) [/mm] ? Oder ist das jetzt wieder falsch bzw. immernoch?
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 13.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das mit dem Vorzeichen seh ich wie du.
2. ersetze cos durch tan dann wird das Ergebnis viel einfacher.
[mm] cos^2(x)=1/(1+tan^2(x))
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Ultio |
Hallo, danke für die Hilfe,
also ist dann:
[mm] 2*x*cos^{2}(arctan(x^{2})) [/mm] = [mm] \bruch( [/mm] 2x / [mm] 1-tan^{2}(arctan(x^{2})))= \bruch( [/mm] 2x / 1- [mm] x^{4})
[/mm]
?
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Ultio |
> Hallo, danke für die Hilfe,
> also ist dann:
>
> [mm]2*x*cos^{2}(arctan(x^{2}))[/mm] = [mm]\bruch([/mm] 2x /
> [mm]1+tan^{2}(arctan(x^{2})))= \bruch([/mm] 2x / 1+ [mm]x^{4})[/mm]
>
> ?
> mfg
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