Ableitungen von Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Differenzieren der Funktion f |
Hallo,
ich habe Probleme Ableitungen von Umkehrfunktionen zu bilden.
Von der Funktion [mm] f(x)=e^x [/mm] ist [mm] f^{-1}(x)=\lnx [/mm] das kann ich nachvollziehen, aber warum die Ableitung davon 1/x ist nicht.
Oder ich soll von f(x)=ln(2x) die Ableitung bilden.
Dazu brauche ich doch wieder die Umkehrfunktion.
Ich weiß, dass sie [mm] f(x)=0,5e^x [/mm] lautet und die Ableitung 2/2x ist,
aber wie ist der Rechenweg?
Oder die Funktion f(x)=x*lnx, bei der ahne ich nicht mal die Umkehrfunktion..
über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Claudia!
>>ich habe Probleme Ableitungen von Umkehrfunktionen zu bilden.
Von der Funktion ist f^-1(x)=lnx das kann ich nachvollziehen, aber warum die Ableitung davon 1/x ist nicht.<<
wie du schon geschrieben hast, hat die Exponentialfunktion [mm] f(y)=e^y [/mm] die Umkehrfunktion g(x) = ln(x)
Es gilt dann: g'(x) = [mm] \bruch{1}{f'(y)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^y}= \bruch{1}{x} [/mm] daraus folgt für x>0 die wichtige Regel:
(ln(x))' = [mm] \bruch{1}{x}.
[/mm]
Bei f(x) = ln(2x) würde ich die Ableitung einfach mit Hilfe der Kettenregel berechnen. kennst du diese Regel? zuerst die äußere Ableitung bilden (von ln(x) ) und dann die innere (von 2x).
die Ableitung von f(x) = x ln(x) kann man mit der Produktregel berechnen, aber habt ihr diese ganzen Regeln schon durchgenommen?
viele grüße
Riley :)
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Hallo Riley,
ja die Regeln sind mir eigentlich bekannt.
Aber nach der Kettenregel würde ich ln(2x) einfach so ableiten:
2ln(2x). Und das geht ja nicht.
Ebenso bei x*lnx, wenn ich da die Produktregel (uv)`=u`v+uv`anwende
kommt nicht lnx+1 raus (wie die tatsächliche Ableitung lautet).
Und bei der Ableitung von lnx = 1/x steht ja vor der Kürzung:
1/e^lnx
also ist der Nenner e^lnx= x und das verstehe ich nicht.
nochmal Danke für die schnelle Antwort.
Viele Grüße Claudia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 So 21.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Claudia!!
okay, dann setzen wir einfach mal y=2x, d.h. wir wollen die Ableitung von ln(y) berechnen:
(ln(y))' = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] y'
äußere ableitung ist ganz einfach die, dass "ln von irgendwas" abgeleitet "1 durch irgendwas" gibt. dann müssen wir aber noch "mal innere Ableitung" rechnen, das ist y' = (2x)' .
wenn du jetzt für y wieder 2x einsetzt bekommst du was...??
zur Produktregel:
(x ln(x) )' = x [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + 1 ln(x) = 1 + ln(x)
(x festhalten) mal (Ableitung von ln(x)) + (Ableitung von x) mal (ln(x)festhalten)
klar wie das funktioniert?
hm, [mm] e^{ln(x)} [/mm] = x , da der ln(x) ja die umkehrfunktion von [mm] e^x, [/mm] d.h. das hebt sich grad auf.
es ist z.B. auch [mm] e^{ln(3)} [/mm] = 3 oder [mm] ln(e^x) [/mm] = x.
vielleicht kannst du dir das auch so vorstellen, wie mit der wurzel und quadratfunktion:
[mm] \wurzel{x}² [/mm] = x oder [mm] \wurzel{x²} [/mm] = x.
hoff ich hab dich jetzt nicht ganz verwirrt...
liebe grüße
riley ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 21.05.2006 | | Autor: | claudia77 |
Hallo Riley,
vielen Dank, ich habe es endlich verstanden!
Ich habe mich solange rumgequält, dass ich das einfachste nicht gesehen habe.
Viele Grüße Claudia
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eins fällt mir gerade noch ein:
Kann man f(x)= ln(2x) wieder umkehren? Und wenn ja wie?
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Hallo Claudia!
Klar, diese Funktion kann man umkehren. Dazu benötigen wir die Umkehrfunktion des Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] , und zwar die e-Funktion.
$x \ = \ [mm] \ln(2y)$ $\left| \ e^{...}$
$e^x \ = \ e^{\ln(2y)} \ = \ 2y$
Den letzten Schritt schaffst Du nun wohl alleine, oder? ;-)
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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Hallo Claudia!
Die Funktion $y \ = \ [mm] \ln(2x)$ [/mm] lässt sich einerseits mit der  Kettenregel ableiten (siehe oben).
Alternativ kannst Du hier aber auch zunächst ein Logarithmusgesetz anwenden und erst anschließend ableiten.
[mm] [quote]$\log_b(x*y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b(x)+\log_b(y)$[/quote]
[/mm]
Also: $y \ = \ [mm] \ln(2*x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(2)+\ln(x)$
[/mm]
Und nun summandenweise ableiten ...
Gruß vom
Roadrunner
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