Ableitungsregeln < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm] D \subset \IR [/mm], [mm] f^{ }: D \to \IR [/mm] eine reelle auf ganz [mm] D^ [/mm] differenzierbare Funktion und [mm] a^{ },b^{ },c^{ },d^{ }\in \IR[/mm] beliebig. Beweisen Sie, dass für eine Funktion [mm]g^{ }: D^{ }\to \IR [/mm] die folgenden Gesetze gelten:
(a) [mm] g(x) = f(x) +a [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [mm] g'(x) = f'(x)[/mm]
(b) [mm] g(x) = b*f(x) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [mm] g'(x) = b*f'(x)[/mm]
(c) [mm] g(x) = f(x+c) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [mm] g'(x) = f'(x+c)[/mm]
(d) [mm]g(x) = f(d*x) [/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] [mm] g'(x) = d*f'(d*x)[/mm] |
ich bin mir nicht sicher, ob es wirklich so simpel ist....
(a) [mm]\bruch{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm]\bruch{f(x+\Delta x)+a -( f(x)+a)}{\Delta x} [/mm] = [mm]\bruch{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} [/mm]
da [mm] f^{ }[/mm] auf ganz [mm] D^{ }[/mm] differenzierbar ist und da jetzt der Differenzenquotient steht, ist
[mm]\bruch{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} [/mm] = [mm] f'(x) [/mm] für [mm] \Delta x \to 0 [/mm]
wars das schon? Kann man das so begründen?
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Hallo ella87,
> Seien [mm]D \subset \IR [/mm], [mm]f^{ }: D \to \IR[/mm] eine reelle auf ganz
> [mm]D^[/mm] differenzierbare Funktion und [mm]a^{ },b^{ },c^{ },d^{ }\in \IR[/mm]
> beliebig. Beweisen Sie, dass für eine Funktion [mm]g^{ }: D^{ }\to \IR[/mm]
> die folgenden Gesetze gelten:
>
> (a) [mm]g(x) = f(x) +a[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g'(x) = f'(x)[/mm]
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> (b) [mm]g(x) = b*f(x) [/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g'(x) = b*f'(x)[/mm]
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> (c) [mm]g(x) = f(x+c)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g'(x) = f'(x+c)[/mm]
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> (d) [mm]g(x) = f(d*x)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]g'(x) = d*f'(d*x)[/mm]
> ich bin
> mir nicht sicher, ob es wirklich so simpel ist....
>
> (a) [mm]\bruch{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}[/mm] =
> [mm]\bruch{f(x+\Delta x)+a -( f(x)+a)}{\Delta x}[/mm] =
> [mm]\bruch{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/mm]
>
> da [mm]f^{ }[/mm] auf ganz [mm]D^{ }[/mm] differenzierbar ist und da jetzt
> der Differenzenquotient steht, ist
> [mm]\bruch{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/mm] = [mm]f'(x)[/mm] für [mm]\Delta x \to 0[/mm]
>
> wars das schon? Kann man das so begründen?
Jo, sieht gut aus !
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
kurze Frage zur (d):
ist [mm]f (d*x) = d*f(x) [/mm]?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mi 15.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> kurze Frage zur (d):
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> ist [mm]f (d*x) = d*f(x) [/mm]?
Nein. Ist z.B. [mm] f(x)=x^2, [/mm] so ist f(dx)= [mm] (dx)^2= d^2*x^2
[/mm]
Oder: f(x) [mm] =e^x [/mm] ---> [mm] f(dx)=e^{dx}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 15.12.2010 | | Autor: | ella87 |
und wie löse ich das dann?
[mm]\bruch{g(x+ \Delta x)-g(x)}{\Delta x}[/mm] = [mm]\bruch{f(d(x+\Delta x))-f(x)}{\Delta x}[/mm] = [mm]\bruch{f(d x+d \Delta x))-f(d x)}{\Delta x}[/mm] = ?
wie bekomme ich denn das d davor? und stimmt der letzte Umformungsschritt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Sax |
> und wie löse ich das dann?
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> [mm]\bruch{g(x+ \Delta x)-g(x)}{\Delta x}[/mm] = [mm]\bruch{f(d(x+\Delta x))-f(\red{d}x)}{\Delta x}[/mm]
> = [mm]\bruch{f(d x+d \Delta x))-f(d x)}{\Delta x}[/mm] = ?
>
> wie bekomme ich denn das d davor? und stimmt der letzte
> Umformungsschritt?
Ja, der stimmt, warum auch nicht ?
Du kannst jetzt im Zähler und Nenner mit d erweitern (unsinnige Formulierung - im Zähler und Nenner wird multipliziert, der Bruch wird erweitert). Anschließend benutzt du, dass [mm] d\Delta{}x [/mm] = [mm] d*(x-x_0) [/mm] = dx - [mm] dx_0 [/mm] = [mm] \Delta(dx) [/mm] ist. Jetzt kannst du statt dx auch z schreiben und erhälst dein Ergebnis.
Gruß Sax.
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